物理学简史(7)

抛物线形熔岩流表现出伽利略的自由落體定律。
3.1
物理与数学相辅相成
数学是研读物理必备的工具之一，这包括几何、代数、微积分等等。应用这些数学工具，物理学者可以从物理定律推导与演算出很多有意思的结果。例如，1912年，图利奥勒维奇维塔获知阿尔伯特·爱因斯坦在探索重力的相对性理论中，遇到一些挫折，他便力劝爱因斯坦学习张量微积分。爱因斯坦采纳了勒维奇维塔的建议，勤学张量微积分，并于1915年成功创立了广义相对论。如同大多数英国的理论物理学者，罗杰·潘洛斯读大学时专修数学，因此有深厚的数学造诣，能够将拓扑学方法引入相对论研究，证明在每一个黑洞的中心存在著一个奇點，这就是在宇宙学里著名的奇性定理。
数学在物理学里的主要角色并不是推导与演算的优良工具，它还扮演了一个更关键的角色：作为一种抽象语言，担当精准地表述物理定律之任。实际而言，物理定律必须先用数学语言来表述，然后才能将数学工具的功能发挥至极。伽利略在1622年著作《分析者》里提到，数学是大自然表达其内涵所用的语言，假若弃之不用，则无法了解大自然的任何一句话。物理学依赖数学来给出准确的公式、准确或近似的解答、定量的结果或预测。理查费曼在著作《物理之美》里也有类似的表示，他认为，不知道数学的人很难真正地理解大自然的美，尤其是最深刻的自然之美……假如你想知道任何有关大自然的事物，或者想鉴赏大自然，就必须了解大自然所用的语言
数学语言在表述物理定律的同时，也表述出内含的数学概念。例如，根据量子力学的数学表述，在量子力学里，有两个基础概念：物理系统的量子态是以希尔伯特空间的单位向量来代表，从观察物理系统得到的可观察量是以作用于这些向量的厄米算符来代表。一旦找到了这两个基础物理概念的对应数学概念，整个线性代数的理论都可以立刻应用于量子力学。这凸显出数学的重要性与适应性。
在数学理论里弥漫著数学语言，其伴随的数学概念往往会指出前进的道路，有时甚至会衍生出经验预测。这并不只是巧合，而恰恰反映出在数学与物理之间无比深奥的关系。例如，1915年，广义相对论最初创立之时，尚没有甚麼牢靠的经验性观测基础，它在当时所能解释的最著名现象就是牛顿力学无法解释的水星近日点的反常进动。1919年天体物理学者亚瑟爱丁顿爵士观测到了广义相对论预言的光线在太阳引力场中的偏折（这一实验直到1959年才开始被精确地定量测量），这在当时是对广义相对论最有力的支持。时至今日，广义相对论的理论预测已由实验测量结果证实。