班纳尔悖论（Banach-TarskiParadox）(2)

然而，班纳尔悖论表明，对于一个三维实心球，这个性质似乎不成立。根据班纳尔悖论，一个三维实心球可以被分解成有限多个不相交的子集，然后通过旋转和平移这些子集，可以重新组合成两个与原始球体大小相同的球。这意味着，这些子集的测度之和应该等于原始球体的测度的两倍。然而，这与我们对测度的直观理解相矛盾，因为原始球体和新组合成的两个球体看起来具有相同的体积。
为了构造这个悖论，班纳赫和塔尔斯基使用了一种叫无限可分集（non-measurable set）的特殊集合。无限可分集是一种无法为其分配测度的集合，因此在测度论中具有特殊地位。通过使用这种无限可分集，班纳赫和塔尔斯基得以避开测度论的限制，完成了这个看似不可能的任务。

三、班纳尔悖论的影响与讨论
班纳尔悖论在数学和哲学领域产生了广泛的影响。它挑战了我们对于体积和测度的直观理解，引发了关于测度论和几何学的深入讨论。以下是一些关于班纳尔悖论的主要讨论和影响：
1.重新审视测度论的基础
班纳尔悖论促使数学家们重新审视测度论的基础。为了解决悖论中出现的矛盾，数学家们开始研究如何重新定义和扩展测度的概念，以使其更加一般化和严谨。这些研究为测度论的发展奠定了基础，并在实际问题中找到了广泛的应用。
2.对无限可分集的研究
班纳尔悖论引起了对无限可分集的关注。这种特殊集合在测度论中具有独特的地位，因为它们无法被分配测度。对无限可分集的研究揭示了它们在数学中的重要性，例如在概率论和泛函分析等领域。