高中数学重点、高考必考——函数的零点和零点存在定理

人教版高中数学必修一改版新教材
函数的零点是高考和几乎历次期中、期末考试中的必考知识点，考试形式多为选择题。
常见的考查方式是，给出一个非基本函数的解析式和四个区间，用零点定理判断零点所在的区间。有时零点的考查会放到图象题中去考查，这也是高考题常考的方式，具体考查形式是给出一个形式比较复杂的函数的解析式和四个函数图象选项，利用函数的零点、奇偶性、单调性、最值等知识点，选出争取选项。
下面将函数的零点与零点存在定理的知识点整理如下。
1.函数零点的概念
一般地，对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
【注】函数的零点就是方程f(x)=0的解。在图象上看的话，函数的零点就是y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
2.以下三个条件等价
（1）方程f(x)=0有实数解；
（2）函数y=f(x)有零点；
（3）函数y=f(x)的图象与x轴有公共点。
3.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。即在开区间(a,b)内存在实数c，使得f(c)=0。这个实数c就是方程f(x)=0的根，也即是函数y=f(x)的一个零点。
【注1】函数零点存在定理的三个要点：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在端点处的函数值异号；（3）函数在开区间(a,b)内至少有一个零点。
【注2】（1）满足零点存在定理的函数在对应的区间内必有零点，但未必只有一个零点，也可能有2个、3个等多个零点。（2）函数零点存在定理适用于变号零点，不满足函数零点存在定理的函数也可能有零点。如：y=sinx 1在实数集R上不满足函数的零点存在定理，但却在R上有无数个零点；（3）单调函数如果有零点的话，必定是有且只有一个零点。（4）由于函数零点的存在定理是二分法求方程近似解的理论依据，所以用二分法求函数方程的近似解，首先要满足函数零点存在定理的条件，并且仅适用于求变号零点的近似解。