临界现象200周年，是谁最早发现了这个物理现象？(9)

在缺乏三维伊辛模型精确解的背景下，人们不得不依赖于数值模拟。杜姆在其1949年的博士论文中提出了高、低温展开方法（参见[4]中引述）。而今天被广泛使用的则是迈绰泡利斯[注15]（Nicholas Metropolis，1915-1999）和乌拉姆[注16]（Stanislaw Ulam，1909-1986）在1949年提出的蒙特卡罗（Monte Carlo）方法[37]。
20世纪60年代，卡丹诺夫和费舍尔[注17]（Michael Fisher，1931-2021）意识到相变的一般理论框架必须基于“标度假设”（scaling hypothesis），特别是从标度假设引出了描述接近临界点的各种临界指数之间的“标度关系”（scaling relations）。这一思想通过威尔逊[注18]（Kenneth G. Wilson，1936-2013）于1971年提出的“重整化群”（renormalization group）方法[38]，为临界现象完整的理论描述开辟了道路。
至此，我们对临界现象的研究和认识达到了一个新的高度，同时又是一个新的起点。
注释
[1] 限于篇幅，我们在此不进一步讨论相变的分类。对（连续）相变的现代解读还包括所谓对称性破缺（symmetry breaking）。对相变与临界现象发展历程的全貌感兴趣的读者，请参阅引人入胜的科普读物佳构，《边缘奇迹: 相变和临界现象》，于渌，郝柏林，陈晓松著，科学出版社（2005）。
[2] 卡丹诺夫（Leo Kadanoff）美国著名统计物理学家，曾任美国物理学会（APS）主席，在统计物理、混沌理论、凝聚态物理等领域贡献卓著。
[3] 由于本文着重介绍卡格尼亚德发现临界现象，因此笔者对其后古典时期的研究并未详细展开讨论，难免会有遗漏，期待以后有机会另文撰述。
[4] 施万（Theodor Schwann），德国生理学家，细胞学说的创立者之一，酵母菌有机属性的发现者，胃蛋白酶的发现和研究者，创造了“新陈代谢（metabolism）”一词。