强推成功人士最爱的《宇宙的琴弦》，评价极高！(2)

如果你想知道为什么均匀振动的允许能量是1/R的整数倍，请回想一下第4章的量子力学讨论——特别是关于那个仓库的讨论。我们从那里知道，量子力学的能量像钞票一样，是离散的能量“元”组成的：是不同能量“元”的整数倍。在管子世界均匀振动的弦的情形，能量元正好是1/R，我们在正文里用不确定性原理解释过了。这样，均匀振动的能量就是1/R的整数倍。
从数学上讲，在卷缩维半径为R或1/R的宇宙中，弦能量的形式为v/R wR，这里v为振动数，w为缠绕数。同时交换v与w和R与1/R——即交换振动数与缠绕数，同时半径换为倒数，这个方程的形式是不变的。这就是两个宇宙的弦能量相同的原因。我们在讨论中用的是普朗克单位，也可以换成更传统的单位，即用一个所谓弦标度
你大概很奇怪，在半径为R的卷缩维上缠绕着的弦怎么可能测得那半径是1/R呢？这种忧虑是很正常的，不过，问题本身却表述得不够准确。你知道，我们在说弦绕着半径为R的圆时，必然利用了某个距离定义（这样“半径为R”才有意义）。但这一个距离定义却是与未缠绕的弦模式相关的——即与振动模式相关。从这个定义——也只有从这个定义——看，缠绕的弦在空间的卷缩维展开。然而，从第二个距离定义——即与缠绕弦相关的那个定义——看，它们却是局限在空间的一点，就像第一种定义观点下的振动弦一样，而那“一点空间”的半径在它看来是1/R，如正文所讲的。这多少说明了缠绕和未缠绕的弦所测得的半径是互为倒数的，但是，这一点还是有点儿难以捉摸，看来我们应该为对数学感兴趣的读者说说它背后的数学。在普通的点粒子量子力学里，距离与动量（本质上还是能量）通过傅里叶变换相联系。
就是说，在半径为R的圆周上的位置本征态|x＞可以定义为
对数学感兴趣的读者可以看到，更准确地说，弦振动的族数等于卡—丘空间欧拉特征数的一半，这在上一章注释里已经说过了。这个数由h2，1与h1，1之差的绝对值来确定。这里，h p, q是（p, q）Hodge数。这两个量分别给出了非平凡同调3圆（“三维孔”）和同调2圆（“二维孔”）的数目（精确到一个数值变换）。因此，我们在正文里讲孔的总数，而准确地说，族数依赖于奇数维和偶数维孔洞数之差的绝对值。然而结果是相同的。例如，如果两个卡—丘空间的差别在于各自的h2，1和h1，1Hodge数是相互交换的，粒子族数——以及“孔”的总数——是不会改变的。