爱因斯坦不是左撇子，上帝才是(11)

Acme Klein Bottle制造的玻璃克莱因瓶
有不可定向的曲面，就有可定向的曲面。球面、环面等等曲面就是可定向的曲面。在可定向曲面里，二维生物无论怎么走，回到出发点后都不会发生左右颠倒。2020年阿里巴巴全球数学竞赛决赛的一道题目涉及到可定向曲面和不可定向曲面。其中=的情形就是关于克莱因瓶到环面的连续映射。

曲面是二维的，我们常见的直线和圆周则是一维的。推广到任意维数，可以在一类叫做“流形”的几何对象上考虑定向。流形（manifold）是现代数学里的一个基本概念。包括直线和圆周在内的曲线都是一维流形。它们的特点是，把其上任何一点的局部放大后，都跟直线非常接近。

曲面则是二维流形。把任何一点的局部放大后，都跟平面非常接近。