爱因斯坦不是左撇子，上帝才是(12)

举个例子，地球的表面是球面，是二维流形。从日常生活的尺度来看，大地是平坦的。所以地平说至今仍有很多人相信。

图源：Claus Lunau/Science Photo Library
三维流形则可以想象为不同形状的宇宙。不可定向的三维流形是这样的一种宇宙，旅行者在其中沿着某条路径走一圈后会发生左右颠倒。最简单的不可定向三维流形是莫比乌斯带和一条线段的笛卡尔积。这个流形的边界是克莱因瓶，可以看作是把克莱因瓶“填满”，所以被称作实心克莱因瓶。对于不可定向流形来说，“左”和“右”只在局部上有意义，在整体上没有意义。怎么理解这句话呢？还是回到《鸟巢里的笑声》的场景。如果宇航员只生活在地球附近，比如说永远不离开太阳系，那么左右就不会颠倒。可是一旦他沿着某一条路径到宇宙深处旅行一圈回来，左右就会发生颠倒。在这个设定的宇宙里，“左”和“右”就没有什么不同。如果我们把右手系的两个坐标轴绕着莫比乌斯带走一圈，就得到左手系。

类似于莫比乌斯带，在三维不可定向流形里沿着某条路径走一圈后右手系会变成左手系。正如我们前面所说，在不可定向流形里，左手系和右手系只在局部上有意义，在整体上没有意义。可定向流形就不一样了，在整体的意义上仍然有左手系和右手系。如果我们取定其中一类坐标系，我们就取定了这个流形的一个“定向”。每一个可定向流形都有两种不同的定向，对应着左手系和右手系。