零点定理考题练习

零点定理可用于证明根的存在性，本文结合具体的零点定理考题进行讲解，帮助大家对零点定理的运用及考试解题有一个好的理解。
一、什么是零点定理
定义：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且函数值f(a)*f(b)<0，那么至少存在一个x[a,b]使得f(x)=0。
二、零点定理考题练习
1.证明方程x-4x 1=0在区间(0,1)内至少有一个根。
分析：f(x)=x-4x 1=0，f(x)=0在区间(0,1)内至少有一个解
证明：设函数f(x)=x-4x 1在闭区间[0,1]内是连续的，
f(0)=1，f(1)=1-4 1=-2，
所以f(0)*f(1)<0
所以由零点定理得至少存在一点(0,1)使得f()=0，即，
即方程x-4x 1=0在区间(0,1)内至少有一个根。

2.证明方程2x=1至少有一个小于1得正根。
分析：根据小于1得正根，可以推出区间范围是(0,1)，将等式右边的移到等式左边得到2x=1，变成和上题1一样的解题了。
证明：设函数f(x)=2x-1在闭区间[0,1]内是连续的
f(0)=-1，f(1)=2-1=1，
所以f(0)*f(1)<0
所以由零点定理得至少存在一点(0,1)使得f()=0，即=0，即=1，即方程2x=1至少有一个小于1得正根。
3.若函数f(x)和函数g(x)均在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)<g(a)，f(b)>g(b)，证明：在开区间(a,b)内至少存在一点使得f()=g()。
证明：设函数F(x)=f(x)-g(x)在闭区间[a,b]上连续
F(a)=f(a)-g(a)<0
F(b)=f(b)-g(b)>0
所以F(a)*F(b)<0
所以由零点定理得至少存在一点(a,b)使得F()=0，