零点定理考题练习(2)

即f()-g()=0。
即f()=g()。
所以在开区间(a,b)内至少存在一点使得f()=g()。

4.证明方程5x 4x-3=0在区间(0,1)内至少有一个根。
证明：设函数f(x)=5x 4x-3在闭区间[0,1]内是连续的
f(0)=-3，f(1)=5 4-3=6，
所以f(0)*f(1)<0
所以由零点定理得至少存在一点(0,1)使得f()=0，即-3=0，即方程5x 4x-3在区间(0,1)内至少有一个根。
5.证明方程10lnx-x=1在开区间(1,e)内至少有一个根。
证明：设函数f(x)=10lnx-x-1在闭区间[1,e]内是连续的
f(1)=-2，f(e)=9-e，e<3
所以f(1)*f(e)<0
所以由零点定理得至少存在一点(1,e)使得f()=0，即10ln--1=0，即10ln-=1，即方程10lnx-x=1在开区间(1,e)内至少有一个根。
6.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)<a，f(b)>b，试证明在开区间(a,b)内至少存在一个使得f()=。
证明：设F(x)=f(x)-x，F(x)在闭区间[a,b]上连续
F(a)=f(a)-a<0
F(b)=f(b)-b>0
所以F(a)*F(a)<0
所以由零点定理得至少存在一点(a,b)使得F()=0，即f()-=0，即f()=。
所以在开区间(a,b)内至少存在一个使得f()=。