逻辑的极限与数学的困境，罗素用了362页才推导出1 1=2(2)

已知三角形ABC，证明角a、角b、角c的和为180度。小明马上想起了平角是180度。因此，他认为，这个问题一定和一条直线有关。但现在没有 直线，那么就在某处画一条直线（辅助线）。试试在其中一个顶点处画一条直线，随便选c，这条线应该是什么方向的？一个显而易见的选择是让它平行于AB。通过辅助线，小明发现角a和角d是相等的，角b和角e是相等的，但这只是直观感受。但是，小明确实记得平行假设中的一些东西，它们确实相等，因此a b c = e d c = 180。
在这一点上，他解决这个问题的所有想法都来自于猜测和自发的判断，这些都来自于他在课堂上所学到的知识。与其说他是一个逻辑推理者，不如说他是一个凭直觉进行猜测的人。接下来，她将运用自己的逻辑推理能力将这些点连接起来，并向她的几何老师演示一个证明。即使是这个简单的例子，小明也展示了一个典型的数学家是如何用直觉来发明和用逻辑来演示的。
罗素：不需要意义的游戏

伯特兰·罗素，1872 - 1970罗素和他的同事继续弗雷格未完成的研究（详细见：机器人之死——逻辑、直觉和悖论，决策者的困境）。然而，数学家们越是努力避免弗雷格所反对的那种悖论，就越容易得出更微妙、更深刻的悖论。
罗素给出了他的悖论的一个例证，叫做理发师悖论：
理发师会且只会为那些不给自己刮胡子的人刮胡子。理发师自己刮胡子吗？

如果理发师给自己刮胡子，他（这个理发师）就不给他刮胡子；这是一个矛盾。另一方面，如果理发师不给自己刮胡子，他就会被理发师刮胡子；这也是一个矛盾。