逻辑的极限与数学的困境，罗素用了362页才推导出1 1=2(3)

与弗雷格不同的是，罗素放弃了公理必须是不言而喻的这一观点，只要公理能够在不矛盾的情况下发展数学知识。他曾说过：
数学可以被定义为一个我们永远不知道自己在谈论什么，也不知道自己所说的是否正确的学科。
任何先验知识，无论它感觉如何不言而喻，都是被禁止的，人类的直觉在数学发展中应该没有一席之地。罗素的《数学原理》用了362页才推导出1 1=2，这并不奇怪。

《数学原理》第362页，1 1=2得到了证明。希尔伯特：不需要玩家的游戏

德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）扩展了弗雷格和罗素的工作，提出了著名的希尔伯特方案，即数学的任何分支都可以被重新表述为一种形式理论，他提出以下3个问题是否存在正解：
一个形式理论，其中的公理不能产生矛盾，它的一致性能否在理论本身内得到证明？形式理论能被证明是完备的吗，因为它包含了任何真正的数学陈述在它想要体现的特定分支中。是否存在一个纯粹的机械过程，我称之为通用证明机制，来判定任何给定的数学命题的真假。这个问题在德语中被称为判定问题（Entscheidungsproblem）。