逻辑的极限与数学的困境，罗素用了362页才推导出1 1=2(6)

可计算的是什么？
即使我们满足于一个不完备的形式系统，是否存在一个通用证明机制来解决判定问题？在深入研究这个问题之前，我们需要回答什么是“纯粹的机械过程”。英国数学家阿兰·图灵（Alan Turing, 1912-1954）定义了一个“纯机械过程”的数学模型。模型中定义的机器会扫描被分割成方块的假想磁带。根据规则表和它自己的内部状态，它接下来在方块上写一个符号，然后要么保持不变，要么向右或向左移动一个方块。这个机器模型后来被称为图灵机，他用它来进行数学论证，而不是制造一台真正的计算机。一般认为宇宙中的一切都是可计算的，当且仅当它可以简化为图灵机。这被称为丘奇-图灵假说。上面提到的规则表现在被称为“计算机程序”。
停机问题
在定义了图灵机之后，图灵进一步证明了希尔伯特通用证明机制的不存在性。受到哥德尔的编号方案的启发，图灵将机器编码为数字，这样机器就可以被研究为数字，这些数字可以作为其他机器的输入。现在图灵可以提出停机问题了：有没有一种机器N，可以决定是否有任何机器在给定的输入下停止或永远循环。图灵指出，仅仅是这种机器N的存在就会导致矛盾。

1954年，NACA“计算机”与显微镜和计算器一起工作。图灵假设有一个特殊的机器M，它的工作与N的工作完全相反。如果N判定一台机器在将自己作为输入时停止，M将永远循环。另一方面，如果N判定一台机器永远循环，在这种情况下M将停止。这样，你可以说M是被设计来故意破坏N的。现在的问题是：当特殊机器M将自己作为输入时，它会停机吗？
如果M在M上停止，根据M的定义，M将永远循环——矛盾如果M在M上永远循环，M将停止——另一个矛盾这个自我参照悖论如下所示：