《现代西方哲学新编》第三章分析哲学的诞生第二节弗雷格(3)

普遍命题【用普遍量词(x)表示，如(x)F(x)】和存在命题【用存在量词v(x)表示，如v(x)G(x)】。本书所使用的通行的逻辑符号不是弗雷格著作中所用的符号，但是，命题函项、真值、逻辑联词和量词的意义却是弗雷格首次阐明的。这些符号的使用对于改造传统形式逻辑的革命性意义已是现在每个学习逻辑的学生所熟知的,但要交代其原委，却必须追溯到弗雷格的思想。
自然数的定义
本世纪初，数学已发展为完整的理论体系，但这个庞大体系的基础却很脆弱，连一些最基本的概念都没有严格的定义。比如，微积分所依赖的“极限”就是一个未经定义的概念。数学家们发现，要定义“极限”这一概念，必须先定义“数列”这一概念，而“数列”的定义又依赖于“实数”的定义，并且首先依赖于“自然数”的定义。这样，自然数的定义便成为数学基础研究的一个症结。
弗雷格敏锐地看出这一症结。他指出，对于“什么是1”这样一个貌似简单的问题，尚未有一个完满的答案：
对于这样一个首要的对象，一个看起来如此简单的对象，我们的科学却不甚了了，这是不是一个丑闻？如果一个强大科学的基本概念发生了困难，那么，对它加以进一步的研究，克服这些困难，便成为当务之急，否则，我们最终将弄不清楚负数、分数或复数，我们对算术整体结构的基础的看法总是有缺陷的。
他还指出，这一研究的性质“比许多数学家所要证明的还要哲学化，因为任何关于数字的研究终将成为哲学研究，这是哲学家和数学家们的共同任务”。
弗雷格所说的哲学研究，指的是从毕达哥拉斯和柏拉图开始的传统观点，即认为数字是独立于感性事物的客观存在。他在反驳密尔的解释时说：
当密尔说，2个苹果在物理上不同于3个苹果，2匹马在物理上不同于1匹马，它们是不同的可视可触的现象，这当然不错。但是，我们能否由此推出：这些东西的2或3是物理事物呢？1双鞋可以和2只鞋是相同的可视可触现象，在这里我们发现的是没有物理差异与之对应的数学差异，因为2和一双并不如同密尔奇怪地相信的那样，是同样的东西。
弗雷格反对说数字是从可感事物中抽象出来的，他坚持认为数字是不与可感事物相对应的客观存在对象。那么，那种不同于可感事物的客观存在对象是什么呢？弗雷格的回答是：类（或集合）。自然数并不是一个类所包含的事物的数目，否则的话，数目只是从事物中抽象出来的一个性质或特征，这又可能导致密尔的结论。自然数就是类本身，但却不是可感事物的类，也不是无条件地等同于类，而是可以从逻辑上加以限定的类。从逻辑上说，一切事物可以分为两大类：一类是与自身相等同的事物，另一类是与自身不相等同的事物。弗雷格把数目0定义为“一切与自身不相等同的事物的类”。需要说明的是，这是一个逻辑上的定义，即使世界上并没有与自身不相等同的事物存在，我们也不能在逻辑上否定这些事物的类的存在，这也是集合论必须设定“空集”的理由所在。