《现代西方哲学新编》第三章分析哲学的诞生第二节弗雷格(4)

得到数目 0 的定义之后，便可以依次定义后继的自然数。数目1被定义为“一切与0相等同的类所组成的类”，数目2被定义为“一切与0相等同的类和一切与1相等同的类所组成的类”，依此类推。我们于是得到这样一个自然数定义的序列:
0 = dfE(Λ)
1 = dfE( {0})
2 = dfE( {0 ,1})
n 1 = dfE( {0, 1, …, n} )
注：df 表示定义，E 表示类，小括号内包含属于该类的要素（事物或子类），大括号内包含所有子类之和，希腊字母 Λ表示所有与自身不相等同的事物。
弗雷格用“类”、“等同”、“不等同”、“组成”等意义明确的概念给出自然数的定义。这种依次定义的序列设定了自然数序列的无限性，即，对于任何一个足够大的数目n，总有n 1为其后继者。这个设定本身却是无法证明的，称作“无限性公理”。自然数的定义以不可证明的公理为前提，这不是严格定义的方式。我们将看到，更为严重的是，在“等同”和“不等同”的逻辑区分被运用于“类”的情况下，还会产生逻辑悖论。虽然有这些缺陷和困难，弗雷格对自然数的定义是形式化哲学方法的重要步骤，对于数学、逻辑和哲学的共同发展起到很大的推动作用。
逻辑本体论
弗雷格坚定地反对心理主义思潮，他一再强调，逻辑对象以及一切可被归结为逻辑的对象（如数学对象）不依赖于人的心理活动而独立存在，这是逻辑符号和规则普遍性及必然性的客观依据。他指出：
心理学的论证方法对哲学的宰制已经侵入逻辑领域。这一倾向已使数学完全不可理喻。……我们的数字观念被说成神经运动现象，有赖于肌肉感觉，没有数学家是用这种无用方式来认识数字的。……不，算术与感觉绝对无关，与以前感觉印象的混合印迹形成的心理图像也无关。所有这些意识状态具有流动和不确定的特征，与数学对象和概念的明确性及固定性形成强烈对照。当然，为了一定的目的，可以研究数学思维过程中发生的观念和观念的变化，但心理学不要以为自己能对数学的基础有任何贡献……我们不要把对观念起源的描述当成定义，也不要把我们意识到的命题的物理和心理条件当作证明。一个命题可以是思想，它还可以为真，我们不要混淆这两件事情。我们必须记住，当我停止想一个命题时，它并不停止为真，正像当我闭上眼睛时，太阳并不终止存在。
这一段话充分表达出弗雷格的逻辑本体论思想。一切存在的东西被分成三个领域：物理领域、心理领域和思想领域。物理对象不像心理主义者所相信的那样，能被归结为心理联想产生的影像；如同物理事物不是影像一样，思想概念也不是影像。心理领域和思想领域的区别是主观和客观的区别。思想不是心理过程和现象，而是心理过程的客观内容，与影像的主观内容截然有别。正因为如此，思想可以成为众人的共同目标和对象，一个不变的概念可以与不同人的不同心理状态和观念相对应。思想领域的规律也不同于心理领域的规律，心理规律即使普遍适用于全人类，也不能与思想规律相混淆，因为思想领域的规律不依赖于人类。弗雷格举例说，“1893年人类不能辨认出不同于自身的事物”和“每一事物都与自身相等同”这两句话，“前一规则谈及人类，包含着时间标记，后一规则既不谈及人类，又不谈及时间，是关于真理的规则，前者只是关于人类认为真 的规则，两者内容完全不同，相互独立，互不依存”。