闪着蓝光的贝叶斯，到底有多神奇？(4)

图自Unsplash/Elliott Engelmann摄
假设你在散步时出于某种原因迷失在了一片干燥炎热、一眼望不到头的沙漠里。由于你原本只打算出门去公园散散步，所以只带了一小瓶饮用水。在沙漠中困了三天之后，你非常口渴。清晨，你抬头望向天空，细细搜寻云彩，最后在地平线上方看到了一小片云。
那么这一片云带来降雨、将你从渴死的边缘拯救回来的几率是多少呢？
这里需要计算的是概率P(降雨|云朵)，即在你看到一片云的情况下降雨的条件概率（conditional probability）。为此还需要：
1. P(云朵|降雨)：如果某一天是雨天，那么是否从这天开始的时候天空中就有云呢？假设沙漠中80%的雨天都是从多云开始的。这也就意味着很大概率上，雨天是从多云开始的。
2. P(云朵)：沙漠中出现多云天气的概率比较低，为10%。
3. P(降雨)：降雨的概率更低。沙漠中往往每一百天才会下一次雨，所以降雨的概率为1%。
由此可知，在看到一片云的情况下降雨的概率为：
P(降雨|云朵)=P(云朵|降雨)*P(降雨)/P(云朵)=0.8*0.01/0.1=0.08
那么在看到云之后，你可以得出下雨的概率大概在8%。这只能带来一点小小的安慰，但是聊胜于无。
贝叶斯定理的一个重点在于，在计算想要计算的条件概率时，其他三个概率都是必不可少的。缺少任何一个都将会极大改变计算结果。
假正
贝叶斯定理可以帮助我们纠正假正（false positives），比如当我们假设一件事情能给一个结果提供有用信息时，而这个结果本身不太可能出现，就容易出现误报。与误报相关的一个很著名的例子就是癌症检测（或者其他罕见疾病检测）。
假设某种癌症的患病率为0.1%。你的医生告诉你有一种最先进的癌症检测，在检测已患癌症的病人是否患有癌症时的准确率高达90%。但这种检测也有缺点，就是在实际并未患癌的情况下检测出癌症的概率为9%。
你生性焦虑，于是就想做个检测来缓解不安。你的检测结果为阳性。知道结果的一瞬间，你真的非常害怕。因为你认为这一结果表明你患上癌症的概率为90%。
不，其实并不是这样的。应用贝叶斯定理，你就可以很快推算出你得癌症的真正概率。需要注意的是，在这种情况下，你需要除以得到真正阳性的概率以及得到假正的概率：