常见的公理是如何“推导证明”出来的？

公理一词源自希腊文axioma，原意是“有价值的思想”。它具有两大特点：1、公理是最基本和不证自明（或假定为不证自明）的真理；2、公理是推定任何其他命题的原始出发点，它本身不能由其他命题演绎而来。
公理不像其他由之推导出来的命题一样可以被证明，其功能在于建构出一个协调并兼容的系统。所以，那种认为公理是可以通过归纳逻辑来证明的看法，是错误的，并且这和科学的可证伪性是不相关的。最能说明问题、也最为大家熟知的就是欧几里德的“平行线公理”：“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。”通过欧几里德的“平行线公理”可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

欧几里德几何的五条公理中，就是这最后一条的叙述最繁复、最啰嗦——它看上去不像公理，而是一个可以被证明的命题。所以，自从欧氏几何诞生，千百年来有无数的人在努力证明“平行线公理”，但是都以失败告终。一直到高斯、黎曼等数学家登上舞台，才彻底结束了证明“平行线公理”的尝试。
黎曼关于平行线的基本假设是：“通过一个不在直线上的点，可以做两条不与该直线相交的直线。”由此开创了黎曼几何，这是非欧几何的开始。数学家证明，非欧几何在逻辑上是自恰的，也就是说和欧氏几何一样，在逻辑上都是正确的，没有矛盾。