常见的公理是如何“推导证明”出来的？(2)

说到这里，不能不提提唯心主义的哲学家康德
康德认为这个世界是先天既定的，时间和空间只是人类感知的一种模式，他称之为直觉。康德认为空间来自于人的心智，也就是说，空间是从人的大脑中创造出来的。既然如此，心智就自然接受空间的某些属性，比如直线是两点间最短距离，三角形内角和等于180度等，没有理由不让这个空间是欧氏空间。这促使他坚信：不存在欧氏几何以外的空间（准确点应该是，康德不能构想出别的几何空间）。如果康德能够多注意一下他同时代发展出的非欧几何，估计他就不会这么轻率的得出结论。后世的爱因斯坦开创的广义相对论说明：时空是弯曲的，恰恰可以用黎曼几何来描述。
康德认为欧氏空间是人类思考和感知外部世界的先决条件。我们现在知道，这是错误的。虽然欧氏空间不是我们思考和感知外部世界的先决条件，但是，我们的思维的确是欧式空间的，这又是康德正确的地方。这句话很绕，我可以举个例：我们知道非欧几何是正确的，并且可以用它来描述时空，但是，因为非欧几何是非先验的，所以在你的脑子里构不出非欧几何的图像，比如，你不能想象两条平行线相交是什么情况。这也从一个侧面说明：公理是不可证明的。

这些说明了什么？说明我们的大脑有其局限性，思维不是无限的
有趣的是，非欧几何分为 hyperbolic geometry 和 elliptic geometry（也称为黎曼几何）两类，hyperbolic geometry 的定义是，过一点可以做无数条平行线，elliptic geometry 的定义是这样的平行线不存在，这三类几何在逻辑上都是自洽的。类似平行线公理的还有康托连续统假设。于是就引出了哥德尔不完备定理。在上世纪六十年代，数学家证明了“平行线公理”、“康托连续统假设”都属于不可判定的命题，既无法证明，也无法证伪。数学家可以按照自己的喜好任意选择，或是进入欧式几何的系统，或是进入非欧几何的系统。