数学之美｜陈景润与哥德巴赫猜想(7)

△拉德马赫（左）与埃斯特曼（右）（图片来源：Math Gene Proj；Oxford Univ. Press）
布朗筛法较以往的数论方法而言有很强的组合数学特征，应用起来比较复杂。所以在研究的过程中，数学家不断对原有的筛法进行改进。考虑到以往的证明中，总是将命题“a b”与对一个筛函数的估计直接联系起来，得到的结果相对较弱。1941年，库恩（P. Kuhn）提出了“加权筛法”，借此我们可以在同样的筛函数上、下界估计的基础上得到强结果。例如库恩于1954年就给出了“a b<7”[8]，即每个偶数都可以写成两个数之和，使得它们各自的素因数个数加起来的总和小于7。而1950年前后挪威数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）提出的“塞尔伯格筛法”[15]则使得哥德巴赫猜想的研究前进了一大步。塞尔伯格利用求二次型极值的方法极大地改进了筛法，由此法可以得到筛函数的上界估计，结合布赫希塔布恒等式可以得到筛函数的下界估计。
在此基础上，维诺格拉多夫、王元等数学家先后完成了“3 3”、“a b”（a b<6）以及“2 3”的证明[10]。

△塞尔伯格（左）与布赫希塔布（右）。阿特勒·塞尔伯格，挪威数学家。研究方向涵盖解析数论，以及自守形式理论。获得1950年的菲尔兹奖和1986年的沃尔夫数学奖。亚历山大·布赫希塔布，苏联数论专家，以其对筛法的研究而闻名。（图片来源：wikipedia；liveinternet.ru）
以上的结果中，比较遗憾的是无法证明偶数分拆成的两个数中一定有一个是素数。主要原因就在于要证明形如“1 x”的命题时，需要估计筛函数S(A,P,z)的上界和下界时，需要估计主项与余项，并证明余项相对于主项可以忽略。这有点类似圆法的思路。不过“1 x”的估计涉及到算术级数中素数分布的均值定理，需要利用较为复杂的解析数论手段。