欧拉数(e)的发展历史——数学是上帝用来书写宇宙的语言！(4)

科学的里程碑系列再次，值得重申的是，纳皮尔最初提出的对数与后来普遍采用的对数明显不同。最主要的是，大多数从事艰苦计算的人通常是在三角学的背景下做的。因此，在发展对数关系的同时，纳皮尔把它放在三角函数的背景下，所以它会更相关——它与指数增长的联系，在几十年内不会发生。
然而，事实仍然是，世界上很少有数学发明像纳皮尔对数那样出乎意料地突然出现。尽管各种不同的分支（通过加法相乘的思想，比较算术和几何级数的思想，运动的概念的使用）在某个阶段都已经浮出水面，纳皮尔的工作受到的热情表明认为这是一项新颖的发明，并且满足了迫切的需求。将对数定义为指数的可能性并不为人所知，直到伯努利和欧拉出现。
伯努利的问题
雅各布伯努利对e地发现的贡献，恰好以一种对金融的好奇拉开了序幕。起初，他做了一个思维实验，思考在相同的速度下，在不同的时间段内，复合增长是如何改变主要产出的。下一系列的例子都使用了标准的年度增长公式：

伯努利的逻辑是基本的，想象一个例子银行账户A，从1元开始，每年支付100%的利息。年底本金为2元。但是现在，不是将全部100％复利一次，而是以50％的利率复利两次，那么到年底的本金为2.25元；如果是以33％的利率复利3次，则年底的本金为2.37元；如果我们按季度计算（复利4次），一年后本金为2.44元！
正如伯努利所注意到的，增加复利周期的频率，同时保持增长率不变，增加了我们的产出；然而，产出原则是在一个递减的速度增加。例如，半年复利导致12.5%的增长，每四个月复利导致18.5%的增长，季度复利导致22%的增长。随着复利周期的增加，然而，这种增加是以递减的速度增长的。
这暗示了在足够长的时间轴上的收敛，这让我们知道我们在处理一个无穷级数，所以我们求助于求极限的微积分工具。正如伯努利自己思考的那样，当我们以更快的频率复利时，我们的原则会发生什么变化——比如，如果我们每周复利(2.69元)，甚至每天复利(2.72元)。很明显，更频繁地计算复利会导致银行里有更多的钱，所以很自然地要问，当利息每时每刻(也就是连续不断地)以复利计算时，会发生什么？