井盖为什么是圆形的？颠覆直觉的图形：井盖与50便士(3)

如图72 所示，通过计算可知，正五边形的对角线等于其边长的(1 √5)/2=1.618033 …倍，高等于其边长的1.538 841…倍。

正五边形的情况虽然比正三角略微复杂，但正五边形的高同样小于其对角线，也就意味着正五边形的井盖同样会掉到井里去。用同样的思路考察正七边形、正九边形……会发现这些图形的高都小于对角线。
勒洛多边形
如果井盖使用正奇数边形的话，应该如何改进呢？现在问题的关键就在于，图形的高小于对角线，会导致井盖在某个角度掉下去。
我们先来看一下正三角形的情况。将圆规的针尖放置在正三角形的一个顶点上，画出连接另外两个顶点的扇形。这样所得到的图形的高就等于其对角线（正三角形的情况下，对角线其实就相当于其边长），都等于这个扇形的半径。依次对三个顶点进行上述作图，就可以得到图73 这种“胖乎乎”的三角形，这种三角形被称为“勒洛三角形”。这种三角形虽然不是圆，但却具有圆的某种性质，即无论在任何角度上，图形的宽度都是相等的（图74）。这种性质在数学中叫作“等宽性”或“定宽性”。既然图形的宽度恒定，那么就可以用来制作井盖了。

同样，正五边形、正七边形也可以变形为“圆乎乎”的图形，即勒洛五边形、勒洛七边形（图75）