毕达哥拉斯：数的世界很迷幻，“形数”之舞(3)

把形数重新划分成两部分之后，每部分都化成较简单的形数，这是一种很不错的办法。毕达哥拉斯学派知道把正方形数划分成两个连续的三角形数相加，但他们没有再向前迈进。
后来的尼可马修斯（生活在公元100年左右，他的最大成就是把算术和代数进行独立研究，而不依赖于几何。他的著作《算术入门》是一部完全脱离了几何讲法的算术书。重要性类似于欧几里得的《原本》对于几何的重要性。）发展了毕氏学派的研究，他应该是类似地把五边形数也做了类似上面的直线划分，结果，规律显现出来了，如下图所示：

您看出来没有，上图中左侧依然是第(n-1)个三角形数，而右侧正好是第n个正方形数。那好的，我们刚才暂时放下没有解决的五边形数得通项公式，现在可以通过上面的划分得到了：

再把上面那个五边形数的图形放在这里，你可以用上面的公式验证一下，已画出来的前4个五边形数分别是1，5，12，22都是对地。图中没有画出来的第5个五边形数及之后的五边形数都可以从上面的公式轻松求出。
再看一下六边形数：