高维空间中最不可思议的发现——球内的立方体，没有人可以理解

欢迎来到高维系列第二部分，感兴趣的话可以看高维系列第一部分：走进高维空间——体验难以置信的感觉。这部分我们将探索高维空间中一些奇怪而有趣的新奇事物。如果你还没有读过，我鼓励你在继续读第二部分之前先读第一部分，尤其是当你认为自己不确定我说的高维空间是什么意思的时候。我们建立了一些概念和工具，这将非常有助于理解这部分内容。不管怎样，在第一部分中，我们看到了在一个半径固定的球里，原点和随机选择的点之间的距离，当我们进入到高维空间时，我们的思想被极大地震撼了。今天，我们将探索我认为是我们从低维度到高维度所观察到的最奇特的现象之一，即球中立方体的奇妙案例！
两种形状：立方体和球体
我们只需要两个形状：一个立方体和一个球。
在这个系列的第一部分中，球是我们的主角，所以我在这里只简单回顾一下。一个球是所有点的集合，这些点与给定的中心保持一定的距离。这听起来可能有点晦涩，但请继续听我讲。在二维空间中，一个球就是一个圆，以及圆内的所有点；在三维空间中，球是一个球体，球体内的所有点都在球体内。每个球都有一个中心和一个半径。为了简单起见，我们总是取中心为原点，它在所有维度上的坐标都是0，比如二维中的(0,0)或三维中的(0,0,0)。半径是球的中心到外边界的距离；例如，如果一个球的半径是一个单位(这将是这篇文章的默认值)，那么球内的所有点都在距中心一个单位内。当我们移动到高于3的维度时，我们不再能看到球，但它的定义仍然是完全相同的：空间中的所有点距离球的中心(由半径定义)是固定的。我们用n维球这个术语来表示n维空间中的球。
那立方体呢，让我们从最容易想到的场景开始：二维和三维。在二维空间中，一个立方体就是一个正方形：一个有四条等长边和四个直角的封闭形状。现在，我们说边的长度是d单位。同样，与球一样，我们使用术语n维立方体来表示n维空间中的立方体。n维立方体也被称为超立方体。下面是一个边长为d的2维立方体。