高维空间中最不可思议的发现——球内的立方体，没有人可以理解(5)

下面，我将绘制n维立方体的中心到角的距离，维度n从2到100，我们可以使用泛化的勾股定理来计算：

任何n维立方体中每条边的长度都是1，但是随着维数的增加，从中心到角的距离越来越远。不论多少维，任意一条边的中心到中点的距离都保持在0.5，在半径为1的球的边界之内；然而，当我们进入更高的维度时，立方体的角在球的边界之外。事实上，在四维空间中，立方体的角在球的边界上(我鼓励你自己做一下数学计算，自己去看一下)。我听说高维立方体的特征是“尖尖的”。当我们增加维度时，边角向外无限延伸，而边角的中点距离中心保持0.5个单位，就像这样：

这是不是很不可思议？我们有一个立方体和一个球的简单和恒定的定义。具体来说，我们从一个完全在圆里面的正方形开始，然后是一个完全在球里面的立方体。但当我们进入更高维度空间的深渊，立方体不再完全在球里面！
画龙点睛
上面的图像是有帮助的，因为它们有助于说明高维立方体的“尖峰性”，但它们也有误导。显然，他们只是试图在二维空间中演示高维对象，所以他们从根本上是不准确的。然而，当我说他们误导时，这并不是我真正想说的。我想让你们思考一下这些高维立方体的“尖锐性”，即边角突出在球的边界之外，而其他点，尤其是边线的中点，仍然在球的内部。如果你还没有被这一观察充分震撼，我将告诉你一些肯定能完成这项工作的事情。一个n维立方体内的每一个点都可以看到立方体内的每一个点，换句话说，你可以在n维立方体内任意两点之间画一条线段，整个线段都在立方体内。考虑一个二维或三维的立方体，这是清楚的。如果你在一个立方体形状的房间里，房间的任何部分都在视线之内，你可以投掷飞镖，从房间内的任何一点击中墙壁、地板或天花板上的任何一点。这适用于任何维度的个立方体！