高维空间中最不可思议的发现——球内的立方体，没有人可以理解(3)

正如你所看到的，如果我们从一个0维立方体开始，在原点上的一个单点，然后沿着一个方向“扫过”空间，得到长度为d的单位，我们就得到了一个1立方体，这是一条长度为d的直线！然后，如果我们取一个立方体(一条线)，在空间中以一个新的(第二个)方向扫过一个长度为d的单位，我们就得到了一个2维立方体，它是一个边长为d的正方形！你开始明白了吗？最后，如果我们取2维立方体(一个正方形)，在空间中以新的(第三个)方向扫过一个长度为d的单位，我们就得到了3维立方体，目前为止，都很完美！
那么，接下来会发生什么呢？我们如何从3维立方到4维立方？好吧，让我们做一件和之前的情况完全一样的事情：我们用3维立方体，以一个新的(第四个!!)方向扫过空间，长度为d个单位，这就得到了一个4维立方。我想肯定有不少人会问：“新第四方向是什么？”“我们都有很强的三维(方向)意识：左/右，前/后，上/下。也许我们听说过时间被称为第四维度。但是在第四个方向上移动d个单位是什么意思呢？老实说，我不知道。但这正是它如此有趣的原因！
不管怎样，我们已经迁移到我们无法想象的神奇空间世界，记住我们不能失去希望。我们必须简单地用数学工具装备自己，然后继续向黑暗前进！现在，我们的主要工具只是一个简单的事实，即一个边长为d的n维立方体是通过将一个(n-1)维立方体在空间中以新的方向/维度扫过一个长度为d的单位来形成的。
立方体的角在哪里？
既然我们已经对n维球体和n维立方体有了清晰的理解，我们怎么才能让我们的头脑“爆炸”呢？让我们从一个非常简单的二维场景开始，一个2维立方体，边长为1个单位，里面有一个半径为1个单位的2维球体（圆），它们都以原点为中心。这只是一个圆里面的正方形，就像下图所示这样：

根据定义，我们知道从2维球体的中心到2维球体的边缘的距离是1个单位，然而，对于2维立方体，中心到边缘的距离取决于方向。例如，我们知道沿水平或垂直轴的距离是0.5个单位(边的一半长度)：