高维空间中最不可思议的发现——球内的立方体，没有人可以理解(4)

到2维立方体的角的距离是多少？如果你看过本系列第1部分，那么你就会知道，对于勾股定理来说，这是一项简单的计算！具体来说，中心到角的距离是（0.5^2 0.5^2）^(1/2)，大约0.7个单位，这个角在这里很特殊，因为它是离2维立方体中心最远的点。
那么，我们学到了什么？我们知道2维球体的外边界上的每一点到中心的距离都是相同的，1个单位。我们还知道，2维立方体的中心与外边界之间的距离是变化的，最短的距离(平行于立方体的任何边的方向)是0.5个单位，最长的距离(到角的距离)是0.707个单位。同时，2维立方体中的每一个点都在2维球体内部，从上面的图中可以很清楚地看出。
当我们进入三维空间时，会发生什么变化？根据定义，正如本系列第一部分所述，我们知道3维球的外边界上的每一点到中心的距离都是相同的，1个单位。那3立方呢？因为这些边的长度只有1，而且立方体以原点为中心，所以我们知道最短的距离(平行于立方体任何边的方向)仍然是0.5个单位。3维立方的角离中心有多远？同样，这是我们在第一部分中学习到的勾股定理的高维推广的工作！具体来说，如果我们有一个点在三维坐标(x1, x2, x3)上，那么我们可以计算出这个点到原点的距离如下：

3维立方体的角的三维坐标是什么？这很简单！它们就是(0.5，0.5，0.5)如果这还不清楚，看看上面的2维立方体，想想三维的类似物。从中心到3维立方的角的距离大约是0.866。3维立方体中的每个点仍然在3维球体内部，但看起来立方体的角比二维情况下更靠近球的边缘。也许你不以为然。毕竟，这在数学上有完美的意义：我们添加了一个额外的维度，并将角的坐标向新的维度的方向移动了0.5个单位，所以当我们添加一个维度时，角离中心稍微远一点是有意义的。另外，半径为1个单位的n个球的定义要求任何点到中心的距离都不超过1个单位。这意味着什么？什么时候事情会变得奇怪？让我们来看看……