她开创了代数的新时代——记女数学家艾米·诺特(3)

不过，她可以挂在希尔伯特的名字下讲课，就这样一直持续到1919年。期间她继续数学研究，发表了一篇论文。一战结束带来了政治和社会的新变化，女性有了在大学任教的资格。这篇论文成为诺特的任职申请论文，在通过口头答辩后，她取得了教师资格。
诺特在哥廷根研究了戴德金（1831-1916）和韦伯那篇著名的关于代数函数算术理论的工作，开始熟悉戴德金的理想理论，走上了抽象代数之路。戴德金是高斯最后一个学生，1852年在高斯指导下完成博士论文，1854年到1858年在哥廷根大学工作。戴德金极力避免从几何直观或者特殊的例子得出概念属性，而是给出充分的公理定义概念。从戴德金分割就可以看出，他没有从直线的连续直接得出实数的连续，而是在有理数集上用几条公理（条件）定义实数集，再证明实数的连续性。戴德金的理想出现在不同的问题中且起着不同的作用，没有发展出普遍的、一般的观点(文献[5]）。
这里的理想是一个数学概念，是一种环。想象一个环形的手镯，它有两个圆。代数中的环是有两个运算的集合，例如我们熟悉的整数集对加法和乘法运算构成一个环，叫做整数环。整数环有一个唯一分解定理即算术基本定理，每一个整数都可以唯一分解成素数的乘积（不考虑顺序）。产生理想概念的一个原因就是为了在某些特殊的环中寻找理想的唯一分解定理。在诺特之前，戴德金、希尔伯特、恩斯特·施泰尼茨、亚伯拉罕·弗伦克尔、伊曼纽尔·拉斯克和弗朗西斯·麦考利相继研究了一些特殊环的分解属性，理想在其中扮演着重要的角色。
虽然不能把创立抽象代数的功劳完全归功于诺特，但诺特是在它创立过程中最具代表性的人物，没有第二个人可以和她相比。
1921年，即将40岁的诺特在《德国数学年刊》发表了论文“环的理想理论”。在这篇40多页的论文中，她用几条一般的、抽象的公理给出了交换环的定义，一种对两个运算都满足交换律的抽象环。相似的抽象环概念弗伦克尔也曾考虑过，但是他没有建立抽象环与理想分解之间的联系。诺特是第一个这样做的人。在文中诺特研究满足理想升链条件的交换环，也就是现在所说的诺特环，它是整数环的推广，但只保留了整数环的一个性质，即理想升链条件，是最广泛的推广（文献[2]）。理想升链条件被戴德金在特殊的例子中使用过，即环中的理想一个接一个的包含在另一个理想中，这样的包含只有有限个。诺特在文中证明了诺特环中的四个理想分解定理。这些定理在她之前只在某个特殊的环中被证明过，需要依赖那个环的性质，但是她的证明只需要理想升链条件，是一种普遍的、抽象的推广。