几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅

几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅 原创 Maggie Chiang 集智俱乐部 收录于话题 #复杂科学前沿2021 150个内容

导语
我们生活在三维空间和时间编织而成的四维时空中，可是在精确的意义上，维度到底是什么？更高维度的时空意味着什么？不同维度之间是否存在难以突破的壁垒，还是有着深刻联系？非整数维度是什么样子？
研究领域：维度，分形，四维时空，高维数据
Maggie Chiang | 作者
潘佳栋 | 译者
梁金 | 审校
邓一雪 | 编辑
维度的概念乍一看似乎很直观。瞥一眼窗外，我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦，被限制在一维电话线上的知更鸟，在二维地面上自由移动的鸽子，还有翱翔在三维空间的老鹰。
但是对于数学家来说，为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才得出目前对维度概念的严格理解。
1. 超越三维
古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德[1]写道：“向一个方向延伸的是直线，两个方向延伸的是平面，三个方向延伸的是物体。除此之外就没有其他了，这些就是所有的维度。”
然而相比于其他人，数学家更热衷于想象更多维度的思维训练：垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子？
一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到平面，就会出现一个点。当它继续穿过平面时，圆盘会不断变大，直到达到其最大尺寸，然后缩小并消失。正是通过这些横截面，我们才能看到三维物体的形状。

图1：在平面上只能看到三维物体的横截面。| 来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine