几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅(5)

图6：当我们将d维对象放大k倍，其尺寸会增加到 kd 倍。
豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是，物体可能具有非整数维度。几十年后，当伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit B. Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸有多长？”时，结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐，以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短，测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为，豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法，并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。

图7：英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。
要了解非整数维度可能是什么样子，让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线（Koch curve）。我们从线段开始。在每个阶段，我们删除每个线段的中间三分之一，并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它，无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它，你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此，如果我们将这条曲线缩放3倍，我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4，因此，d=log3(4)≈1.26。科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间，所以它不是二维的，但它也不是一条一维线，而是1.26 维。