几何、分形与时空:跨越百年的维度定义之旅(5)
2023-05-21 来源:飞速影视
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图6:当我们将d维对象放大k倍,其尺寸会增加到 kd 倍。
豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是,物体可能具有非整数维度。几十年后,当伯努瓦·曼德尔布罗特(Benoit B. Mandelbrot)问道:“不列颠的海岸有多长?”时,结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐,以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短,测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为,豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法,并在 1975 年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。
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图7:英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。
要了解非整数维度可能是什么样子,让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线(Koch curve)。我们从线段开始。在每个阶段,我们删除每个线段的中间三分之一,并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它,无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它,你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此,如果我们将这条曲线缩放3倍,我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足 3d=4,因此,d=log3(4)≈1.26。科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间,所以它不是二维的,但它也不是一条一维线,而是1.26 维。
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