几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅(4)

终于，在1912年，在康托尔的发现之后将近半个世纪，在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后，布劳威尔（L.E.J. Brouwer）使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲，他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中，以及在不将物体分成许多部分（如康托尔所做的那样）、不允许物体与自身相交（如皮亚诺所做的那样）的情况下，使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外，大约在这个时候，布劳威尔等人给出了各种严格的定义，例如，可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实，帮助归纳地确定维数。
尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上，但它无助于增强我们对高维空间的直觉：对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写，“我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。”
例如，假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中，然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加，中心球体的大小随之增加——它的半径为√n -1。但是，令人震惊的是，当n≥10时，这个球体会伸出立方体的边。

图5：中心球体随着维度的增加而变大，最终会突出到立方体外面。
高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题，统称为“维数灾难”（curse of dimensionality）。许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长。此外，随着维度增加，点形成聚类的概率会降低。因此，找到为高维数据降维的方法十分重要。
3. 分形和非整数维度
维度的故事并没有因为布劳威尔而终结。仅仅几年之后，费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了一个新的维度定义，之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要。
考虑维度的一种直观方式是，如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍，它的大小会增加到kd倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍，点的尺寸不变（30=1），线段变成3倍（31=3），正方形变成9倍 (32=9)，立方体变成27倍 (33=27)。