几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅(2)

类似地，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，这个四维球会以一个点的形式出现，之后成为一个实心球，最终达到完整半径的球，然后半径减小并消失。这给了我们关于四维形状的感知，但是对于这样的物体，还有其他思考方式。
例如，让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物。如果我们从一个点开始，可以在一个方向上拖动它以获得一条线段。之后，当我们垂直于拖动方向移动线段时，得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样，我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体。

图2：通过将蓝色位置的图形拖动到紫色位置，我们可以可视化各种维度的图形，包括超立方体。
或者，就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样，我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体，正如萨尔瓦多·达利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Crucifixion，Corpus Hypercubus) 中所展示的那样。

图3：我们可以通过展开正方体得到的面来想象一个立方体。同样，我们可以通过展开超立方体得到的立方体来想象超立方体。
所有这一切构成了对维度的直观理解，即如果一个抽象空间有n个自由度（就像那些鸟一样），或者需要n个坐标来描述一个点的位置，该空间就是n维的。然而，数学家发现维度比这些简单的描述要复杂。
2. 定义维度
人们对更高维度的正式研究出现在19世纪，相关研究在几十年内变得相当复杂：1911年的参考书目包含1832条对n维几何的引用。也许因此，在19世纪末和20世纪初，公众开始迷恋第四维度。1884 年，埃德温·阿博特 (Edwin Abbott) 创作了流行的讽刺小说《平面国》（Flatland），小说以二维生物遇到三维生物作为类比，帮助读者理解第四维度。1909 年《科学美国人》征文比赛题为“什么是第四维？” ，有245份参赛作品争夺500美元的奖金。许多艺术家，如巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）和马塞尔·杜尚（Marcel Duchamp），将第四维的想法融入到作品中。