哈密顿：一个随时有人书写的伟大名字｜贤说八道(8)

经典力学的基本原理是最小作用原理，即粒子的实际路径是使得action，作用（量），
取极值的路径。量
称为拉格朗日量。从拉格朗日量出发，做勒让德变换，可得到哈密顿量
，其中
。笔者在此提醒各位好好研究研究勒让德变换。它是光学中研究焦散线的关键。这里的拉格朗日量到哈密顿量的变换，热力学中各种热力学势之间的变换，都是勒让德变换。这样做的思想基础是，变换了的公式体系在数学上要保证描述同样的物理。其中深意，值得琢磨。
由拉格朗日量和哈密顿-雅可比方程，可以导出哈密顿运动方程
；
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。可见，哈密顿方程是2n-个一阶微分方程，而欧拉-拉格朗日方程是n-个二阶微分方程。尽管哈密顿方程未必就好解，但它提供了其它的好处。比如，坐标和动量是差不多对称（形式上多个负号，相应的几何是辛几何）的独立变量。如果系统有一个对称性使得某个广义坐标不出现在哈密顿量中，对应的动量就是守恒的，在其它方程中这个广义坐标都可以忽略，这相当于把体系变成了一个有(n-1)个广义坐标的体系。使用拉格朗日表述，虽然相应的动量依然是守恒的，但是所有的广义坐标还都要出现在拉格朗日方程中。拉格朗日表述和哈密顿表述为经典力学理论的深入提供了基础，也是指向量子力学的桥梁。
哈密顿运动方程易于通过变换研究，这是它的一个优点。不显含时间t的哈密顿量，对应能量守恒的体系，哈密顿方程为
；
。关于这个方程引入了正则变换的说法，即H(pi, qi)由变换后得到的H(Pi, Qi)满足同样形式的方程，
；
，因此方程也被称为正则方程。
哈密顿力学走向量子力学是通过哈密顿-雅可比方程导出（拼凑出）量子力学的薛定谔方程的。在哈密顿-雅可比方程中出现的函数S，哈密顿主函数S(q, t; q0, t0)，就是对拉格朗日量关于时间的变上限（同时允许改变相应的路径终点）积分
。对S做关于端点q的变分，故有δS=pδq，得p=∂S/∂q。由定义
，对S做关于端点t的变分，得
，其中用到了端点处的变分
（速度
是微分），故有H=-∂S/∂t，此即哈密顿-雅可比方程。理解此处的内容需要学会固定端点和活动端点的多变量变分，这些都是哈密顿发展出来的学问。
哈密顿-雅可比方程特别对找出力学系统的守恒量有用，这是唯一的粒子运动可以表述为波形式的力学表达。它就来自光学，所以后来就成了波动光学（wave mechanics）的基础，这让薛定谔捡了个便宜，有了波动力学的方程；后来狄拉克认识到了其中的问题，让费曼捡了个便宜，有了量子力学的路径积分表述。在量子力学中，哈密顿量是算符，