哈密顿：一个随时有人书写的伟大名字｜贤说八道(10)

1843年10月16日在和夫人一起沿着运河去爱尔兰皇家科学院开会的路上，哈密顿感到灵光一现：如果是四元数的话，很可能使得数的乘积和数模平方的乘积分别具有同样的数和数模平方的形式。也就是说他需要研究的是a ib jc kd，为此需要引入第三个虚数k2=-1 。激动万分的哈密顿在Brougham 桥侧刻下了公式i2=j2=k2=ijk=-1。在接下来的路上他的脑子转开了，迅速开始了计算。到了会场他立马告诉朋友他的发现，并获得允许在11月13日下次会议上报告。构造三元数和四元数的过程中，放弃乘法的交换律是关键一步，确实需要勇气和胆识。满足xy≠yx，x(yz)≠(xy)z这样乘法的代数，内容可丰富了。或许是在同爱森斯坦讨论的时候，哈密顿才决定放弃乘法的交换律的。哈密顿寻找三重数动机本来就是为了描述三维转动的，而三维转动的特征就是非交换性。
四元数是q=a xi yj zk这样的数，其中的三个虚数i, j, k满足i2=j2=k2=ijk=-1以及ij=-ji=k, jk=-kj=i, 和 ki=-ik=j。四元数的纯虚数，即r=xi yj zk可以描述或者称为是三维空间里的世界矢量，而ij=k反映的就是所谓矢量乘法的右手定则。三维矢量的这种表示以及叉乘的右手定则都是对四元数简化而来的矢量算法的结果，美国科学家吉布斯为此付出了很多努力（现在看来影响非常负面），可惜这些没人告诉我们。笔者本人当年就一直傻傻地以为矢量分析是什么基本的算法——直到很晚很晚的时候我才听说过四元数，而三维矢量是四元数的纯虚部。在构造四元数的当天，哈密顿就得到了我们今天称之为矢量点乘（标量积）和叉乘的东西。四元数被构造，哈密顿揭示了牺牲普通代数（实数）的规则依然能得到有意义的代数（有针对性应用的代数）。
这开启了近世代数。
哈密顿觉得四元数的标量项可能表示时间。我们知道后来的物理学就是这样的，不过不是把时空简单地表示成q=ct xi yj zk这样的四元数，而是写成(x, y, z; ict)的样子，将之理解为双四元数（biquaternion）。这是后话。哈密顿曾撰文Algebra as the science of pure time（作为纯粹时间之科学的代数），这个深刻的哲学思考是哈密顿的思想宝藏, 其对物理学发展的影响不可估量。
哈密顿本来就关注的是复数表示转动的能力。四元数也具有表示转动的能力，当四元数作为算子（operator）时，它作用的对象（operand）是旋量，在60年后才被发现。四元数是描述转动的正确打开方式。相关的知识，希望大家有机会学学（参见拙著《云端脚下》）。笔者当年学刚体力学的时候，书里介绍的是转动的欧拉角表示。欧拉角是历史上引入描述刚体转动的没错，但是欧拉角不唯一而且不构成群，所以它不是描述转动的好选择。当年读比如狄拉克或者樱井纯的量子力学，看人家的转动表示时一头雾水，后来才明白人家对四元数熟悉得很。