哈密顿：一个随时有人书写的伟大名字｜贤说八道(9)

，而动量算符的定义是
。写出哈密顿量，或者编造哈密顿量，简直成了做理论物理的代名词了。这一点在量子场论中尤其明显。此是后话，打住。
3c).四元数
哈密顿伟大成就之一在于认识到所谓的复数不过就是有代数结构的二元数，或者叫代数偶（algebraic couple）。复数能表示二维空间里的转动，那么是否存在一个数学对象能自然地表示三维空间里的转动呢？哈密顿想把他的代数偶的概念推广到三重的情形（triplet）[4]。哈密顿发现不可能从微分方程出发构建triplet的数学理论（It is not possible to establish a theory of triplets from partial differential equations）。
为了构造他的triplet，哈密顿整整花了13年时间，期间多次放下又拾起（因为根本没有与二元数意义相仿的triplet），是数学与形而上的本能让他坚信triplet的存在。三在哈密顿的生活与哲学中是个很难逾越的槛儿。他毕业于三一（trinity）学院，而trinity, 即圣父、圣子、圣灵的三位一体，是西方宗教的根本概念。三而一的思想，是根深蒂固的trinity的回响（One though three, an obvious echo of the trinity）。三分叙事（trichonomous logic）是西方文明的传统。柯勒律治是对哈密顿影响很大的诗人。对柯勒律治来说，事分三重（triad）是基本的哲学，他的意志、思维与生活的三重存在同康德的把所有的认知手段都分成三重（triadic arrangement）（见于康德的《判断力批判》）一脉相承。
三重存在的思想也有见到胜利的地方。比如，麦克斯韦等人发展起来的颜色的三原色理论。颜色的三原色理论实际上是技术性的，不是科学，不具有数学的triplet所要求的严谨性。最重要的是，我们生活在三维物理空间里，哈密顿要发明的是对应三维空间矢量的那种三重存在（triplet），包括三元数。追求mathematical triplets和metaphysical triads在哈密顿那里是同时的、统一的事情。
哈密顿首先想到的是构造 x iy jz 形式的三重数，其中i2=-1，j2=-1。求三元数的平方(x iy jz)(x iy jz)时会出现ij和ji项，令ij=0或者ij=-ji能使得三元数同自身的乘积还是三元数，以及让三元数模平方同自身的乘积还是三元数的模平方。但是，两个任意三元数的乘积和两个任意三元数模平方的乘积，其结果都是四项，关于后一点可从式(a2 b2 c2)(x2 y2 z2)=(ax-by-cz)2 (ay bx)2 (az cx)2 (bz-cy)2看出来。两个三元数的乘积可以令ij=0或者ij=-ji变成三项，而两个三元数模平方的乘积是四项平方的和，哪儿有点儿不对劲儿。这个问题让哈密顿苦恼多年。