对称性破缺与涌现——复杂科学与艺术之间的共鸣(9)

在自组织临界的相变点，除了存在局域的、直接产生影响的相互作用外，还存在相对较远的粒子间的隐藏、间接的作用，被称为「长程关联」（long-range correlation）。例如以鸟群为例，一个鸟群实现复杂多变的行为只需要三条简单规则：
靠近。在视野半径之内，当前这只鸟会尽可能去靠近它的邻居，使鸟群不至于飞散；
对齐。视野半径中的所有鸟得都朝一个方向飞，不然系鸟群总需要不断调整方向；
避免碰撞。视野半径中的鸟，鸟之间或和障碍物靠得太近，就需要变换方向，不然就会撞上使系统停止。
可以看到，基于一些简单局域规则，鸟之间能够产生长程关联，从而使鸟群宏观行为显示出某种空间或时间尺度不变特性特征。从对称性度看，鸟群所产生的自组织就相当于在所有鸟在对称性破缺（从完全整齐划一到每只不同的鸟）后，基于时间动力演化的产生的一种新的对称性。
更一般的，鸟群在自组织临界的相变点所产生的，就是典型的混沌行为的一类吸引子。正因为混沌现象从数学中就能产生，可以说它横跨所有自然和人类领域。
混沌指的是一些系统，对于其初始位置和动量的测量如果有极其微小的不精确，也会导致对其的长期预测产生巨大的误差。也就是常说的「对初始条件的敏感依赖性」。它和量子不确定原理一样，直接否定了拉普拉斯式的决定论。
第一个明确的混沌系统的例子是19世纪末由法国数学家庞加莱（Henri Poincaié），他试图解决所谓的三体问题（three-body problem）：用牛顿定律预测，三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。二体问题非常简单，但是三体问题要复杂得多。庞加莱通过研究，发现一般三体问题无解，即没有解析解。只有在特殊情况下的解作为吸引子。
混沌现象在很多系统中都被观测到，心脏紊乱、湍流、电路、水滴，还有许多其他看似无关的现象，当然最著名就是所谓「蝴蝶效应」：一只亚马逊蝴蝶扇动翅膀，可能会引起美国得克萨斯州的一场飓风。

对数学而言，最著名的例子是一个简单的模型，叫逻辑斯蒂映射（logistic map），如右上角。分别取不同R的值，x结果就会的变得非常有趣。