三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(42)

希伍德没有找到解决方案，而是求其次提出了五色定理。后来哈肯借助计算机完成四色猜想的证明，由于不能满足数学家的直觉理解，始终不圆满。
本文证明就不同了，作者找到了任意给定图中所有区块的良序关系，所有的高阶区块都是良序的，而相邻的高阶区块，所包含的低阶区块也是良序的，这就满足了能用数学归纳法证明的所有要求。高阶良序通过约当定理得到子树遍历序列，低阶良序通过鸽笼法则得到邻接色不超过三色可迭代进行，因为单区块能始终被相邻闭链某一区块全覆盖。如果围绕单区块出现对称图，都包围三色，此时的邻接色须启动“悔棋模式”，即换色重填，只须待着色图把相邻闭链的结构给定，悔棋模式图就一定为可约图，悔棋不会因连锁反应导致全部重来，而是待着色图清晰闭链结构后必有匹配区块能覆盖单区块，邻接色虽在悔棋状态，但是当且仅当待着色图相邻闭链的结构清晰后，就可对悔棋模式图的某些区块进行换色，从而可避免待着色图中的相邻闭链会出现皆包含三色的对称图。
因为有“悔棋模式”状态，故数学界有哥德尔的不完备定理。之所以有悔棋模式，就是因为未知部分没有给定清晰结构，一旦给定清晰结构，问题就迎刃而解了，对立模式不能同时给，可以先后给。对立模式同时给是伪问题。如，只给那些不给自己理发的人理发，理和不理都同时在的话，那这样的理发师不存在，是伪问题，罗素通过正则公理将它排除了，但对立模式先后给，那是可以的，比如理发师可以给自己理一次发，时间多长视第一次的时间定义而言，此后不再给自己理。同样原因，当每次着色迭代推进时，待着色图与邻接色相邻的闭链结构一经确定，一定是作为闭链是三色可约图，作为任意给定子图是四色可约图，并产生新的三色闭链时就继续保留单区块来作为邻接色，这个是可证明能做到的，因为有鸽笼定理。
根据鸽笼定理，定有邻接色中的某区块作为单区块被相邻闭链中的某区块全包围或被全包围。因为相邻闭链要么各区块能对齐要么不能对其，对齐时肯定能彼此全覆盖或被双色全覆盖，不能对齐时多覆盖少，根据鸽笼定理，相邻闭链区块对齐的都没问题全覆盖，非对齐的，就会出现多对少，继而必出现，多对单，多区块的闭链中就有小区块被相邻闭链中的单区块全包围。于是单区块被全覆盖，就能保证邻接色始终不超过三色，且只设一个单区块对接子图。
根据若旦定理，任意给定图都能被相邻闭链充满，把每条闭链看成高阶区块单元，可构造成子树遍历序列，为可使用数学归纳法提供了条件。