外尔：闯入物理瓷器店的数学家大象丨贤说八道(5)

外尔的数学生涯开始于分析，包括积分方程和谱理论。1910年外尔以奇性微分方程及其用本征函数的展开，即后来的自伴随算符的谱理论，获得私俸讲师资格 (habilitieren)；1911年发表了Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte(本征值的渐近分布) 一文，证明了在紧致域上拉普拉斯算子本征值的渐近分布，即Weyl law，1912年又用变分原理给出了新证明。外尔后来不断回到这个问题，他还将之应用于弹性体系，得到了外尔猜想。本征值渐近分布，学量子力学的看到这个概念会眼睛一亮，这是量子力学数学一大关啊，而外尔得到这些研究成果时量子力学这个词还没出现呢[3]。
关于拉普拉斯算符本征值的渐近分布，外尔在1915年指出其第一项正比于系统的体积，除了体积以外的其他参数不起作用，此乃物理学家，其中有大名鼎鼎的洛伦兹 (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928)，在提供了经典物理到量子物理桥梁的黑体辐射研究中首先猜测的一个结果。坦白地说，笔者虽然撰写过关于黑体辐射研究的长篇论文，对这一点却毫不知情。当然，黑体辐射、量子力学和拉普拉斯算子本征值，这里的逻辑关系是契合的。
1913年外尔发表了小册子Die Idee der Riemannschen Fläche (关于黎曼面的思想)，对黎曼面进行统一处理。此项工作的一个重要意义在于将复数从复平面中解放出来。外尔用点集拓扑让黎曼面理论更加严格，为后来的流形研究树立了榜样。黎曼几何的外尔张量对于理解共形几何非常重要。
1918年外尔出版Raum-Zeit-Materie（空间-时间-物质）一书，此时他已经开始思考如何筑牢广义相对论的数学基础并加以扩展。同一年，外尔发表了关于规范场论的第一篇文章，那是从数学上将引力理论同麦克斯韦电磁理论结合起来的尝试，详情见下。也许不算巧合的是，同一年在哥廷根出现了诺特定理，而这是规范场论的重要基础。
1923 -1938年间外尔发展了用矩阵表示表述的紧致群理论。关于紧致李群他证明了基本的特征标表，这是理解量子力学的对称结构的关键。外尔还给出了旋量问题的阐述。外尔关于群论的工作，加上维格纳（Eugene Wigner，1902-1995）和冯·诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957）的工作，奠立了量子力学的数学基础，见下。关于非紧致群及其表示，特别是海森堡[4] (Werner Heisenberg, 1901-1976) 群，也捎带着在1927年在外尔量子化的框架中给处理了。李群和李代数才成了纯数学和理论物理的主流，外尔功不可没。