跨越网络的门槛：社交媒体上的信息扩散(4)

五、传染病模型
传染病模型是研究信息扩散的另一个思想根源。第一个已知的传染病学数学模型是丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在1760年提出的，当时他为了根除天花而研究了死亡率（Bernoulli，1760）。然而，直到20世纪初传染病学的确定性模型（deterministic model）才出现。罗斯在1911年建立了传染病的微分方程模型（Ross，1911）。此后，Kermack和McKendarick在1927年发现了传染病扩散的阈值，他们认为感染的密度必须超过一个临界值才能使传染病暴发（Kermack and McKendarick，1927）。
数学模型有助于厘清传染病扩散研究的假设、变量和参数，引出重要概念（例如门槛、再生数），便于检验理论猜想并预测未来的传染病传播情况（Hethcote，2009）。虽然传染病模型是对现实的简化，有助于理解社会现实中的扩散现象，例如疾病传播、网络信息传播、新技术或行为的采纳。为了更好地理解传染病模型，本章简要回顾了基本的传染病模型：SI、SIR、SIS及其在网络中的应用。
SI模型是最简单的传染病模型。在SI模型中，SI传染过程只有两个阶段：易感和感染。使用S来表示易感人群的比例，使用I表示感染人群的比例。假设初始状态下的感染人群的比例是X0，易感人群的比例是S0。β表示传递速率（transmission rate），它表示易感人群和感染人群之间的相遇并发生传染的概率。
图2-4中的两条曲线显示了处于易感染和感染状态的人群比例随时间的变化曲线。被感染人数的曲线在感染初期增长缓慢，此后经历指数增长阶段，最后随着易感者数量的减少而饱和。因此，这个模型可以用来模拟经典的创新扩散。

图2-4 SI 传染病模型的逻辑斯谛增长曲线
SI模型假设被感染的人将一直具有传染性，这对许多疾病传播来说是不现实的。因为就多数疾病而言，免疫系统会与疾病作斗争，人们感染一定时间后就会恢复。可以使用R表示康复状态，使用γ表示移除率或康复率。通常研究者对1/γ更感兴趣，因为它决定了平均感染时间。当考虑感染者的康复状态时，就可以将SI模型拓展为SIR模型。