从罗密欧朱丽叶的爱意到三体，原来都是混沌问题(7)

我们发现李雅普诺夫指数就是系统实际ln||δ(t)||~t曲线的近似直线的斜率，由此，我们便可以得到系统的李雅普诺夫指数。
同时，我们再回到定义李雅普诺夫指数的公式，会发现当其为正（λ>0)时，因为||δ(0)||一定值，故||δ(t)||会以指数速度增加，换言之，系统中两点会以指数速度分离，也就是进入两条毫不相关的轨道。而对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大李雅普诺夫指数是否大于零非常直观地进行判断——正李雅普诺夫指数，意味着在系统相空间中，无论初始时刻两点距离多么靠近，其间距都会随着时间成指数率的增加以致达到无法预测，这也就是我们所说的混沌现象，而李雅普诺夫指数的大小，暗示着两点分开的速度，也就是系统进入混沌状态的速度，或者也可以说系统不再能被预测的速度。
此时再回过头去看一些系统，根据其李雅普诺夫指数的大小，我们便能大致估计出对系统进行预测的程度。例如对于太阳系各行星运动，我们能预测到400~500万年左右，对于天气系统，我们能预测到15天左右，而对于混沌电路，则仅能预测1毫秒左右。
因此由于系统的非线性性质，部分系统将面临必然走向混沌的结果，故而我们不能仅通过观测其在某一时刻的状态与演化规律，就精确预测任意时刻后该系统的状态。因此，就无须抱有一些不切实际的期待，比如希望天气预报给出未来一个月的天气情况。
4. 对于混沌的最新研究
正如前文所讲，多数非线性系统难以求解析解，因为相较于线性系统，它不能分成几个部分单独求解，并重新整合。但自然界的很多复杂系统，如气象变化、化学反应、病毒感染、人口移动、社会行为等，各部分会相互影响、合作或竞争，也就是出现很多非线性作用，因此学会用整体的目光，关注系统中的复杂性与偶然性就显得尤为重要。
混沌理论就是非线性科学中发展出的理论，它是关于系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
然而，混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性变化和其他明显对称特征的有序态，因此该理论可以为我们研究自然科学或社会科学中诸多现象的不确定性做出解释与分析。与此同时，该理论延展出的如何控制或利用混沌现象的研究，还被应用于神经网络、非线性电路、天体力学、非线性机械故障诊断系统等诸多领域，向我们展示了其广阔的发展前景。
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来源：集智俱乐部
编辑：冬眠爱好者