三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(16)

相邻素数之间蕴含任意间隔
相邻素数间隔可表所有偶数命题：p(n 1)-pn=2k，k为大于0的所有自然数，p(n 1)、pn为相邻素数，该猜想断言，所有的偶数都能用两个相邻素数之差表示。这是斋藤猜想的加强版，相邻素数间隔猜想成立，斋藤猜想即成立。意味着丢番图问题中比较典型的难题有解决路径了。
证明：三元方程p(n 1)-pn=2m，p(n 1)-p’=2t（2m为可表偶数，2t≠2m，2t为例外偶数，p(n 1)，pn为所有相邻素数，p’为非相邻素数），可证明例外偶数2t为空集。因为p(n 1)与pn是解集互素的，假如m不含w素因子，也就是假如m解集等于非全集素因子，那么选取不含w素因子的p(n 1)和pn为互素解集，还可令m与pn也是解集互素的（因为可选择先考察这样的解集，一定可做到用所有的素数与另一组所有的素数互异相减，且与可表偶数即差值数集也基底互素），与p(n 1)是解集互异的，因为1个偶数1个奇数，于是构造出的可表偶数p(n 1)-pn=2m必有w素因子。理由是，根据三元方程两组二元解集基底互素则第三组互异解集必基底互素的定理，即在三元方程中，在两组解集基底互素，第三组解集互异的前提下，可推出第三组必是基底互素的，m必含与p(n 1)和pn互异的w素因子，这与假设矛盾，可见m不含w素因子不真。
可表偶数2m必含所有素因子。
而龙头例外偶数2t=2m 2，因为1与m和t解集互素，t与m互异，同样根据三元方程互异解集基底互素的判定可推出t必有与m解集互异的素因子，但m中所含的素因子为全集，故2t为空集。可见“相邻素数间隔之例外偶数”的后继偶数也不存在，因此相邻素数间隔可表所有偶数是真命题。于是相邻素数间隔猜想获证。
为何相邻素数之和不能表达所有偶数？因为相邻素数之和无法获得所有素因子，因为相减构造偶数比相加构造偶数在素数定义域上要自由得多，2m可用大于2m的无限种素数对相减构造，但2m只能用小于2m的有限个素数对来相加构造，不能保证相邻对与偶数都互素，20就无法用相邻素数之和来构造。同理很多偶数2h都无法用相邻素数之和来构造，比如一对孪生素数之和的后继偶数就无法用相邻素数之和来表示，因为共轭对素数都被孪生素数岔开了，不可能是相邻偶数。