三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(20)
2023-12-21 来源:飞速影视
“奇偶归一”命题:形如f(f(x))=(3x+1)/2^k的迭代方程,其中2^k为3x+1中的所有2因子,任意生成元所产生的迭代解集“不会循环””不会无限”,即经过有限次互异迭代运算后必有奇数解1。
奇偶归一,不永远重复,不永远穿越,总是不忘初心。
“3x+1”问题的神秘在于:一位母亲目送小女儿出去打酱油了,每次母亲都盼着小女儿早点回来,可是不知道小女儿去了哪里打酱油,是否会经过一个老要重复走的迷宫,是否会掉进无限黑洞里再悄然回来,不得而知,甚至是否会回来都不知道。——但基底互素思想可解决这一切。
证明:①迭代方程3x+1=2^k•y,y也是x的解集,取y=f(x),可得到如下迭代方程:f(f(x))=(3x+1)/2^k,(2^k为每次3x 1迭代函数中的所有2因子),其中每次迭代生成元x的生成对象f(x)也属于生成元x,那么每次解集一定不会出现循环解。根据基底互素思想,方程3x+1=2^k•y在三项组中,3x与1是解集互素的,2^k•y与1是解集互素的,3x与2^k•y是解集互异的,故3x与2^k•y是解集基底互素的。要么3与2^k•y彼此有不共素因子,要么x与2^k•y彼此有不共素因子,可知3x1+1=2^k•x2,3x2+1=2^k•x3,用前一个方程减去后一个方程,3x1-3x2=2^k•x2-2^k•x2,变换为3x1-(3 2^k)x2=-2^k•x3,因为3同(3 2^k)x2是互素的,3x1与x2是互素的,故3x1与(3 2^k)x2是基底互素的,彼此有不共素因子,故x1与2^k•x3也必是基底互素的,三元互素方程性质决定,故x1与x3是互异的。
可见在三元迭代方程每次解集中,x1与x2是互素(或基底互素)故必互异的,x2与x3是互素(或基底互素)故必互异的,于是x1与x3必基底互素;再因为x3与x4是互素(或基底互素)互异的,故x1与x4必基底互素,这说明考拉兹迭代方程每次解集是彼此基底互素的,故彼此互异,我们把它叫着考拉兹迭代方程每次解集具有互异传递性。由此可见,每次x迭代生成的f(x)不是循环解集。只有当f(x)=1时才会生成元与生成对象一致,其他情形f(x)无法产生与x初项相等的数值,因为一旦能产生与初项生成元相同的数值,x解集与f(x)解集就不是基底互素了。故根据基底互素引理,考拉兹迭代方程每次解集x(含f(x))一定没有循环解。1会产生奇数重复解,但不是循环解,尚未构成奇数闭环,1个以上重复才算循环。
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