三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(21)

除了用基底互素思想可解决外，还有其他解决方案，如果3x＋1＝2＾k无解，则3x＋2＝2＾k，3x＋3＝2＾k也无解，这与“自然数必蕴含2＾k”相矛盾。因为3x＋2＝2＾k，当x为奇数时，方程无解，当x为偶数时，3x＋1＝2＾k是它的本原解方程；而3x＋3＝2＾k，当x为偶数时，方程无解，当x为奇数时，3x＋3＝2＾k为无解方程。故当本原解方程3x＋1＝2＾k无解时，3x＋1＝2＾k，3x＋2＝2＾k，3x＋3＝2＾k等三个方程都无解，这与“自然数n必蕴含2＾k”相矛盾，这样3x＋1＝2＾k必有无限解，因为大于任意给定值后仍有解。由于每次解集的并集包含无数对有自然数1的解，会终止迭代，不会被循环绊住，因解集基底互素，会始终向较小数互异扩展解集，故每次迭代解集连线不会循环延伸，最终会获得2＾k中的迭代奇数解1。
根据基底互素思想，迭代方程累积解x（含f（x））没有循环解＝＞迭代方程3x＋1＝（2＾k）•y，即f（f（x））=（3x＋1）/2＾k，其中x每次迭代生成的f（x）不是无限解集。因为根据x（含f（x））没有循环解，每次迭代解集都是互异扩展的，要求每次解集中的每一个解都有新素数递增，迭代函数要么是总体递减函数（局部有递增递减呈锯齿状），要么是总体递增函数（局部有递增递减呈锯齿状），不会循环平行延伸。假如迭代函数是总体递增函数，那么每次解集就有2倍奇数的无穷数列（形如{2t 1}，t为奇数），形如{2t 1}类的奇数生成元代入（3x＋1）函数会呈递增状。形如{2t 1}的奇数代入（3x＋1）迭代方程不能可持续地产生同类奇数，故解集互异升降不可避免。
因为不循环故不存在迭代通项有无限互异解，通项所产生的基底互素因子是有限个的，素数等差数列是有限长的，通项数列是等差数列的等价变换，故通项素数数列也是有限长的，每次迭代解不可能有新素因子无限递增。用有限个素因子做底数和指数所构造出的互异数值也是有限个的，故每次有限次扩展是一定会包含解集1的。解集未确定递减函数会始终不断地向已确定递减函数互异扩展，因为新素数因子递增在通项数列中是有限次的。故每次迭代解集连线不会无限延伸，必会每次经过有限项迭代后最终碰上2＾k中的奇数1，从而终止迭代。
除了用基底互素思想解决外，还可用反证法证明，如果3x1＋1＝2＾k无奇数1解，3xi＋1＝2＾k无奇数1解，则3（xi 1）＋1＝2＾k亦无奇数1解，xi为偶数时都可以变换为奇数来考察，当奇数时的xi做初项代入时无奇数1解，则3（xi 1）＋1＝2＾k亦无奇数1解，因为（xi 1）是偶数，它的奇数部分xi无解，由于其奇数部分是偶数部分的本原解，故它的本原解的通解即偶数部分亦无解，这就推导出3xi＋1＝2＾k为所有初项时都无奇数1解，这与已经证明的结论3x＋1＝2＾k一定有奇数1解相矛盾。从而反证了每次迭代解集不无限。3x1＋1＝2＾k每次迭代一定有奇数1解。故每次迭代解集连线不会无限延伸，最终会获得2＾k中的迭代奇数解1。