三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(24)

（1）在x y=z无整数解的互素方程中，可以很容易证明，其指数递增方程也必无整数解，因为无基底解必无通解。在此解集下的变元的指数递增也同样不会有整数解。（这是基底方程无解情形三元指数齐次递增时所构造的新方程仍无解）
（2）在x y=z有整数解的互素方程中，左边加一个w构成指数齐次增加方程，得到x y w=x^2 y^2。假如w与x y是互素的，必与x^2 y^2也是互素的，那么x y与x^2 y^2也定是互素的，即z与z^2因不等，故也是互素的，但因有公因子，于是矛盾。再假如w与x y是非互素的，与x^2 y^2也是非互素的，那么x y与x^2 y^2是非互素的，并且有相同的公因子，即z与z^2是非互素的，有相同的公因子，导致x^2 y^2与z也是非互素的，有公因子，导致x^3 y^3=z^3不是互素方程，于是矛盾。可见x y=z有整数解方程无论是否有互素w加项，构造指数递增方程都能推理出x^2 y^2=z^2方程是无整数解的。（这是基底方程有解情形三元指数递增时所构造的新方程仍无解）。
（3）在x y=z有整数解的互素方程中，左边加一个w构成非指数递增方程，而是构造一个线性映射的通解方程，就会得到x^2 y^2=x^2有整数解的毕达哥拉斯方程，它不是有解的指数递增方程，而是左边指数齐次递增一次，右边对应添加本征值的一个新方程。且碰巧本征值可用右边指数递增所产生的底数因子来匹配表达。但这样的函数映射关系，右边不能随指数递增而持续匹配表达。
（4）继而可证明，在毕达哥拉斯方程x^2 y^2=x^2有整数解的互素方程中，左边加一个w构成指数递增方程，得到x^2 y^2 w=x^3 y^3,假如w与x^2 y^2是互素的，与x^3 y^3是互素的，那么x^2 y^2与x^3 y^3也定是互素的，即z^2与z^3因不等，故也是互素的，但因有公因子，于是矛盾。再假如w与x^2 y^2是非互素的，与x^3 y^3也是非互素的，那么x^2 y^2与x^3 y^3是非互素的，并且有相同的公因子，即z^2与z^3是非互素的，有相同的公因子，导致x^3 y^3与z^2也是非互素的，有公因子，导致x^3 y^3=z^3不是互素方程，于是矛盾。可见x^2 y^2=z^2有整数解方程无论是否有互素w加项，构造指数递增方程都能推理出x^3 y^3=z^3方程是无整数解的。