三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(25)

（5）在毕达哥拉斯方程x^2 y^2=x^2无整数解的互素方程中，同样可以很容易证明，其指数递增方程也必无整数解，因为无基底解必无通解。
（6）还可求得毕达哥拉斯方程左边齐次指数增加右边非指数增加该系数增加若有解，可匹配特征值，说明新的线性映射会产生不变的特征值，这与三元方程基底互素定理相矛盾。详细阐述如下：
也就是说，在x^2 y^2=x^2有整数解的互素方程中，则不存在非指数递增型可变换为指数递增型，因为可变换的有指数递增解x^2 y^2=tz^2方程不是毕达哥拉斯方程，t和z有互素因子，该方程内积一个本征值z/t能变换为指数递增方程，而毕达哥拉斯方程则无法内积和数乘匹配成指数递增方程，故x^3 y^3=z^3方程无整数解。指数为初项3时的毕达哥拉斯相邻方程指数齐次递增无解到此就得到了解决。也就是说费马猜想到此就得到了证明。
一次费马方程有解的非指数递增可还原为指数递增方程，但此时一次方程不是基底方程；二次费马方程有解的非指数递增不可还原为指数递增方程，因为针对相同的基底方程，右边不同的线性映射不可能产生相同的特征值，因为一旦产生就会与三元方程解集基底互素定理相矛盾。左边因某变元的指数递增所新增的差值w1 z1^n=z2^n，因为w1与z1解集互素，w1与z1解集互素，那么z1^n与z2^n解集互异时必解集互素，当左边变元的素因子解集不变但指数递增时，必带来右边的素因子解集的互素变化，左边指数递增一次后所对应的特征值碰巧与原右边的素因子一致，可还原为右边的指数递增，产生了毕达哥拉斯方程，但两次或两次指数递增后，就会存在一样的基底方程不同的线性映射产生的特征值其素因子不变，这就同已证明的三元方程解集基底互素定理的推论命题相矛盾，z1^n与z2^n在左边指数递增的前提下会产生解集互素，故毕达哥拉斯方程的变元指数齐次递增所产生的新方程必无解。
（7）接下来可进一步证明毕达哥拉斯方程的变元非齐次指数递增后所产生的新方程也必无解。因为a b=c存在有整数解互素方程的非指数递增型可变换为指数递增型，当然可蕴含齐次，x^2 y^2=z^2则不存在有整数解互素方程的非指数递增型可变换为指数递增型，上文已有详细证明。简单地说，是因为可变换指数递增的有解方程x^2 y^2=t·z^2不是毕达哥拉斯方程，t与z基底互素，有不同素因子，t是z的真子集因子，该方程内积一个本征值(z^c)/t能变换为指数递增方程，而毕达哥拉斯方程则无法内积和数乘变换成指数递增方程，故比尔方程x^a y^b=z^c方程无整数解。