三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(33)

同时用孪生素数猜想、波利尼亚克猜想获证的结论做引理也可证明 ABC 弱版猜想。已知z、y 是素数，则满足z-y=2、4、6、8、10、…，2n，z、 y 是无穷多个的。（引理是孪生素数定理，波利尼亚克定理，即任意偶数差值素数对具有无穷个。这两个判定结论前文已经证明。）
因为 2、z、y 都是满足波利尼亚克定理的素数，所以 rad（2zy）=2zy ＞ y， 2＜z＜y，因为这样的z、y有无穷多个，所以2、x、y不是abc三元组，rad（2xy）＞y，有无穷组解。
符合ABC猜想中的弱版猜想：没有三元组的品质q超过1.63小于 1（已知最高的三元组品质），皆在范围外。
当 0＜ε＜1，且 w 取更大时，显然系数大于 1，指数（1 ε）又大于 1； 故ε-^w • rad（abc）^ （1 ε）会比 rad（abc）更大。 在 0＜ε≤1时有无穷组解，故ε^-w • rad（abc）^ （1 ε）＞c。 当ε＞1时，系数缩小的倍数ε^-w不及指数（1 ε）扩大的倍数，故rad（abc） 在不等式的大边时仍然大。我们来比较 ε^w 和 w^ε 的大小： 当 w ≤ 3 时，ε 的 w 次方＞ w 的 ε 次方； 当 w ＞ 3 时，ε 的 w 次方＜ w 的 ε 次方； 在 abc 方程中，必 w ＞ 3。 w 为不同素数的个数，也就是说，当w ＞ 3 时，不等式小于c 时有解。m 是从 rad（abc）中提取出来的无平方因子数，显然大于 w，因 w 是不同素数的 个数，故rad（abc） /c＞1时，rad（abc）作为不等式的大边，添加系数和指数后， 不等式的大边仍然大。
故 c ＜ε^ -w • rad（abc）^ （1 ε），在 0＜ε＜∞，w ＞ 3 时有无穷组解。
在波利尼亚克方程中，素数的个数 w 必大于 3，两个素数与一个偶数构成 三元组，而大于 2 的偶数一定有两个或两个以上的素数。 因此ε^-w • rad（abc） ^（1 ε）＞ c 或＜ c 中的微调系数 Cε 是可以提取出来进行 分析的，Cε=ε^-w • w^ε• k，其中 k 是正整数，w ＞ 3。经计算，微调系数 Cε 的值 域是，0到∞之间的所有实数。可以看出素数的指数越大，系数越小，个数越多， 系数越大。
由于大于c 时的微调系数Cε 可以趋于无穷大，故它的倒数也就可以趋于 0，rad（abc）有无数组解是大于 c 的，就算微调后也是如此，因为系数 Cε 趋 大（素数增大或个数增多）所获得的系数 Cε 可满足波利尼亚克方程无穷数组 构造ε^ -w • rad（abc） （1 ε）＞c，系数Cε 趋小在此用不着考虑，因为已经有无穷 组解了。于是弱版的 ABC 猜想就获得了证明。 以上证明完成了两个重要环节：一是证明了 rad（abc）＞ c有无穷组解，二是证明了微调后有相应系数的ε^-w • rad（abc）^ （1 ε）＞c 一样有无穷组解。以上证明是基于哥德巴赫猜想以及孪生素数猜想获证的基础上，也就是说是基于三元方程解集基底互素定理的基础上的。弱版ABC猜想获证，印证了三元方程a b=c，根据解集基底互素定理，其中c会不断出现低维的素数，从而保证了rad（abc）＞c。