三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(5)

“三元方程互异解集基底互素”命题(以下为定义部分)：
整数三元方程a b=c，Ubi、Uai、Uci为三元方程解集，若解集gcd(Ubai,Ubi)=1，解集gcd(Uci，Ubi）=1，且Ubi或Uai≠Uci，则解集(Uai,Uci)基底互素，三元方程解集两对互素第三对必基底互素，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，同时也严格解集互素gcd(Uai, Uci)=1。换成其中任意两对解集互素，甚至基底互素，若第三对解集互异，都能判定第三对解集必基底互素成立。
命题阐述以及概念定义：a和b无共同素因子就叫a和b互素，a和b有不同素因子就叫基底互素。已知a、b是一对互素的整数，c是它们的和，即a b=c，由于gcd(Uai,Ubi)=1，gcd(Ubi,Uci)=1，且a与b、b与c以及a与c必每次互素,则Uai和Uci必基底互素，一个解集跟另一个解集在基底互素的条件下有增添新素数因子的性质。解集基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子，通关就是两两进行逐一比对。通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器。但基底互素允许存在共素因子，且允许双方的子集素因子是对方全集素因子的子集。
同时也严格互素gcd(Uai, Uci)=1，当Uci与Uai互异，Uai蕴含全部素因子时，1和任何整数都互素，但不属于基底互素，1和1互素，但不属于基底互素，15和3约掉3后互素，但不属于基底互素，21和35非互素，但属于基底互素，因为约掉7后，3和5是互素的，且不含1。有些数是基底互素但不要求互素，如15和9，有些数互素但不基底互素，如5和1，有些数既互素又基底互素，如3和5，有些数既不基底互素也不互素，如15和3，非基底互素的，说明至少有一方相对没有增添新素因子。
假如（Uai,Uci)不是基底互素，移除共因子后，存在gcd(Ua’i,1)=1，Uci相比Uai就没有增添新素因子，根据基底互素的定义，两个整数之间相互含有不一样的素因子，就叫基底互素，基底互素的整数也可以含有公因子，解集基底互素，说明解集之间都有不共素因子，不象a和1，仅单方面有不共素因子，基底互素说明，一个解集有对方没有的另类素因子，另一个解集也必有对方没有的另类素因子。
那么根据定义Ubi或Uai≠Uci，在每次解互素的前提下，会导致c解集相对不增加新素因子或a解集相对不增加新素因子，a解集中的素因子都在c中，或者c解集中的素因子都在a中。前者说明，c中有增加新素因子，可不考虑，我们仅假设c没有增加新素因子的情形，在a’是a中素因子的乘积数，b’是b中素因子的乘积数时，那c中的素因子就不可能是a中素因子的子集，这与不是基底互素（即仅有共因子而无异因子）的假设相矛盾。以下就用是否有新增新素数因子的思想来证明该基底互素定理成立。