三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(7)

令f(a)为a的素因子解集、f(b)为b的素因子解集、f(c)为c的素因子解集，根据假设f（c）⊊f（a），以及f（a）∪f（b）= f（b）∪f（a），可得到，f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a）∪f（a），于是f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a）（两个相同项之并集可合为一项），这就导致，素因子全集f（a）∪f（b）∪f（c）是该集（b）∪f（a）的真子集，全集不可能是该全集或其子集的真子集，母鸡下的蛋孵不出该母鸡自己（与正则公理相矛盾），这就证明了三元方程两组解集互素第三组互异会增添新素因子，于是可判定此命题为真。
根据假设f（a）⊊ f（c），同样可证得f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（c），导致，素因子全集f（a）∪f（b）∪f（c）是该集（b）∪f（c）的真子集，与正则公理相矛盾，这就证明了三元方程两组解集基底互素第三组互异会增添新素因子，于是可判定此命题为真。
罗素悖论不成立时的情形被正则公理消解了，证明确实是不成立的。罗素悖论成立时的情形与正则公理也不冲突，而是有条件成立。理发师仅可给自己理第一次发，此时成立，第一次可无限短暂，但总存在。补元概念如果没有原概念的话，补元概念是不存在的。选择公理就支持存在原概念。罗素悖论成立情形可用选择公理来证明。正则公理与选择公理并不冲突，而是相互支持的。但混淆条件就冲突。选择公理强调有基底元，有普适的公共元，正则公理强调有前后序，有相应的分别序。重合法就是正则公理与选择公理相互不断支持下的选择公理；相邻论就是正则公理与选择公理相互不断支持下的正则公理。阴阳有序阴阳共根。元素具有三性质，不同时情形具有互异性，元素同时情形具有无序性，确定性与非确定性是二者的另类表达。可见明白有序和共根是非常重要的。正则公理说的是公平条件下可得到自由。
选择公理说的是自由条件下可得到公平。
三元方程中第一对两元解集彼此有不共素因子，第二对两元解集也彼此有不共素因子，则存在传递性，第三对两元解集互异一定彼此有不共素因子。三元方程a b=c是两两互素的，且a与c是解集互素的，b与c是解集互素的，a与b每次解不同且解集也是互异的，a、b、t的解集之并含所有素因子。则a解集相对于b解集有增添新素因子，或者b解集相对于a解集有增添新素因子，也就是说a与b是基底互素的。