三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(8)

另一组也一样。证法同上。可见三元方程在特定条件下不共素因子有传递性，两对彼此有不共素因子，第三对互异一定彼此有不共素因子。 
“三元方程互异解集基底互素”命题的特例：在a b=c中，如果b解集（仅在方程右边）为1，a与b解集互素，b与c解集互素，则a与b解集基底互素。
证明：f（a）是a解集的素因子全集，f（b）是b解集的素因子全集，f（c）是c解集的素因子全集，假如a与c解集非基底互素，因b为1，a与b也含1的可能可排除，故f(a)要么是f(c)的真子集，f(c)要么是f(a)的真子集。前者又因为f（b）∪f（c）=f（b）∪f（c），所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（c）∪f（c），合并相同项，所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（c），这就导致全集是子集的真子集，与正则公理相矛盾。后者又因为f（b）∪f（a）=f（b）∪f（a），所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a）∪f（a），合并相同项，所以f（a）∪f（b）∪f（c）⊊ f（b）∪f（a），这就导致全集是子集的真子集，与正则公理相矛盾。
故三元方程含解集为1时基底互素定理也成立，只不过逆命题不都是解集基底互素，第三对会推出解集互素，即便解集互素，右边项也必是新增新素因子的，因为左边的b解集为1。
根据三元方程解集性质，可判定(Uai,Uci)非基底互素的假设是不真的。故c中增添新素因子是每个a和b的基底素因子补元不断筛查所剩的交集。在此前提下，就会导出素数分割偶数方程的一个重要性质（2p 2=c）：
意味着要同所有的a基底互素才能筛查出c中的素因子。c中的素因子同每个a和b中的素因子都是互异集，尤其是针对可表偶数2p，可清晰地判定c中的素因子同每个p是互异集。于是根据摩根律就可得到这样一组表达：
 在a b=c中，也就是在2p 2=c中，c中首项数的素因子=Cu（a1中的素因子）∩Cu（a2中的素因子）∩Cu（a3中的素因子）∩Cu（a4中的素因子）∩……Cu（an中的素因子）∩Cu（b1中的素因子）∩Cu（b2中的素因子）∩Cu（b3中的素因子）∩Cu（b4中的素因子）∩……Cu（bn中的素因子）。根据摩根律“补的交等于并的补”可得：
c中首项数的素因子=Cu{（a1中的素因子）∪（a2中的素因子）∪（a3中的素因子）∪（a4中的素因子）∪……（an中的素因子）∪b1中的素因子）∪（b2中的素因子）∪（b3中的素因子）∪（b4中的素因子）∪……∪（bn中的素因子）}= Cu全体素因子= Ø。而c没有龙头数，c就没有后继同类数。