三元方程解集基底互素定理可解决大量未解的丢番图问题(10)

“相邻互素”命题：除0外的自然数必相邻互素，即 m 1=h，m与h必互素。当m解集∩h解集=空集，且m蕴含所有素因子时，m解集与h解集必基底互素亦严格互素。
证明：已知 m、h 是一对相邻自然数，即m 1=h，由于1与m互素，故m与h必互素。 假如其中两项非互素，有公约数可约掉，就会产生整数与真分数相等，于是矛盾。故自然数相邻互素。
在此基础上本定理可通过直接推导成立，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m 1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素。可见递增相邻集是一定会新增素数因子的。
“相邻偶数除以2后必互素”命题：偶数约掉因子2必相邻互素，即2m 2=2h，h与m必互素。如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素。
证明：相邻偶数2h与2m约掉2因子后是一对相邻自然数，据上文已证定理，h与m 一定是基底互素的。根据三元方程解集基底互素定理的推论，如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子，则m与h也是解集基底互素的。因为m、h分别与1解集互素，且互异，故m与h必解集基底互素。
本定理亦可通过前文已证命题直接推导成立，约掉2因子后，就是相邻互素方程，m与1全集互素，h与1全集互素，且根据定义m≠h，m 1=h是三元互素方程，故第三对m与h必基底互素。基底互素，说明单对单数值每次比较有不共素因子，多对多解集通关比较也有不共素因子。通俗地说，两大互异阵营都有对方没有的秘密武器。与可表偶数互异的后继偶数必有增添新素数因子。
2.0  引理二：互异型可表偶数蕴含所有素数因子（全素因子判定方法，也叫重合法）
定义：除用1外不能等量分割的1的所有后继数叫素数。
为了不循环定义，为了遵守戴德金的倒金字塔定义，我们避开了用自身用整数来定义素数，数学是最反内卷的一门学科，素数须有新的定义。当然与原教科书的素数定义并不冲突，素数是除1和自身外不能被其它数整除的数。把该定义理解成是用小整数来定义大整数是可行的，筛法思路就从此而出。