外尔：闯入物理瓷器店的数学家大象丨贤说八道(10)

我们将看到，如果将左右对称性取消，则两个分量就够用了。……限制条件2取消了左和右的平权。
后来的外尔旋量就分为左手的和右手的。三十年后的物理学界为是否放弃左右对称性而经历的心灵挣扎，是物理学史上有趣的一页。
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外尔的哲学成就
哥廷恩的数学传统是包括哲学的。构建数学的基础，应该是哲学性的劳动。外尔熟悉古希腊哲学和德国古典哲学，大学时选修过胡塞尔的哲学课，据信他对物理的处理方式多基于胡塞尔的现象学哲学。外尔所著的Was is Materie?， Raum-Zeit-Materie，Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft（数学和自然科学的哲学），以及Das Kontinuum (连续统) [7]都是哲学味十足的名篇。后人编纂的Mind and Nature (思维与自然) 收录的也是外尔的一些哲学思考。
在1918年的Das Kontinuum一书中，外尔使用罗素 (Bertrand Russell, 1872-1970) 的分支类型论 (ramified theory of types) 的较低层次发展了谓词分析的逻辑，他实际上是发展了经典运算的大部，但他既不使用选择公理也不使用反证，还避免使用康托 (Georg Cantor，1845-1918) 的无限集合。这期间外尔采用的是费希特 (Johann Gottlieb Fichte，1762-1814) 的构造主义。在连续统中，可构造的点是分立的存在，而我们需要的不是那种作为点之集团的连续统,应该构造同物理意义自恰的连续统。该书出版后, 外尔转向了布劳威尔 (L. E. J. Brouwer, 1881–1966) 的直觉主义。后来，外尔又觉得布劳威尔的直觉主义对数学施加了太强的限制。
1921年，外尔写了“关于数学新的基础危机”一文，在数学界引起了极大的骚动。约在1928年后，外尔就公开认为数学的直觉主义同他对现象学哲学的热情不相容。晚年的外尔认为数学是“符号构造(symbolic construction)”。
1949年，外尔放弃了数学的直觉主义的价值。在1949年英文版Philosophy of mathematics and natural science中，外尔写道:
"Mathematics with Brouwer gains its highest intuitive clarity. He succeeds in developing the beginnings of analysis in a natural manner, all the time preserving the contact with intuition much more closely than had been done before. It cannot be denied, however, that in advancing to higher and more general theories the inapplicability of the simple laws of classical logic eventually results in an almost unbearable awkwardness. And the mathematician watches with pain the greater part of his towering edifice which he believed to be built of concrete blocks dissolve into mist before his eyes.