五次方程：群与域——数学精灵阿贝尔与伽罗瓦(2)

无独有偶。当阿贝尔十三岁那年离开故乡，进入挪威首都奥斯陆（当时叫克里斯蒂安尼亚）一所教会学校时，也曾遭遇一些挫折。可是不久，他遇到一位叫霍尔姆伯的数学老师。霍尔姆伯非常欣赏阿贝尔，成了阿贝尔的启蒙老师和第一个伯乐。霍尔姆伯教如饥似渴的阿贝尔学习高等数学，鼓励他阅读瑞士数学家欧拉、德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日和泊松的著作。
一八二一年，十九岁的阿贝尔幸运地进入新成立的挪威第一所大学—皇家弗雷德里克大学（后易名奥斯陆大学）。更幸运的是，有三位教授愿意为聪明好学、家境贫困的阿贝尔解囊相助，其中一位教授允许阿贝尔随意出入自己的家。另一位教授则资助他第一次离开挪威，去哥本哈根旅行。五年以后，阿贝尔又获得挪威政府的旅行奖学金，经过柏林来到了巴黎。
三次和四次方程
说到五次方程求解的意义，我们要从古希腊说起。在古希腊，几何学曾是数学的代名词。柏拉图学园的入口处写着，“不懂几何学的请勿入内”。而数学就像毕达哥拉斯定义的单词词根，指一切可以学到的知识，那更多的是一种哲学含义。究其原因，几何学可以通过图像，而不怎么需要文字和符号来推理表达，因此更容易自由发展，这也是欧几里得几何学得以率先诞生的原因。
对于一次和二次方程，因为比较简单，在没有方便的符号体系下，包括“四大文明”在内的古老文明都能自己找到解答，甚至知道利用根式给出的表达方法。只不过，有的民族只取正值解，有的民族（二次方程）只取一个解或实数解。而要说到一般的代数方程和它的求解，首先要提到丢番图，他是古希腊最后一位数学大家，生活在公元三世纪的亚历山大。
丢番图最重要的著作是《算术》，这是一部划时代的数学名著。共有十三卷，但很长时间人们只见到其中的六卷希腊文本。直到一九七三年，才在伊朗马什哈德发现四卷阿拉伯文译本。这十卷书中共有二百九十个数学问题，大多数是数论问题，其中希腊文本中的第二卷第八题是有关毕达哥拉斯数组。十七世纪《算术》拉丁文译本出版以后，引起了法国数学家费马的兴趣，演变成赫赫有名的费马大定理。除数论问题以外，《算术》还涉及一些代数问题和思想。但它不像之前的代数问题那样披着几何的外衣，而是还原代数本身的模样。对于一次方程，丢番图采用“移项”和“合并同类项”等技巧，这与我们现在的解题思路是一致的。对于二次方程，虽说丢番图已懂得负数的运算法则，但只满足于寻找正有理数解，且如果有两个正根时，他只取较大的那个。